VUE
que deux normales consécutives donnent par leur intersection le centre de courbure. Le lien des •intersections suc-
Fig. 12.
cessives des normales n’est donc autre que le lieu des centres de courbure.
De là une nouvelle manière d'envisager celte recherche. Elle consiste à recourir aux expressions générales trouvées pour les coordonnées £, rj du centre de courbure (36, 3^, p. 17a)
et à éliminer x ety entre ces formules et l’équation de la courbe. La relation résultante entre £, y représentera la développée. ’ •
Il ne serait pas difficile de montrer que non-seulement ces deux méthodes sont équivalentes au fond, mais encore qu’elles conduisent exactement aux mêmes calculs dans chaque cas. La dernière devient cependant distincte et
plus simple quand on peut se servir de considérations géométriques directes.
158. Exemple. — Cherchons, par exemple, la développée de la spirale logarithmique (/?£. 7 , p. i56). INous avons reconnu (1 48)-que son centre de courbure C se trouvait à l'intersection de la normale MC et de la perpendiculaire OC an rayon vecteur OM. Si donc i J et 0' désignent les coordonnées OC et- CO 0 du point C, nous aurons dans
le triangle rectangle COM,
/ — /tangf*, 0 = 6' — -,
et comme on a entre ces quantités les relations (128)
r = ni , fi = arc cot L ni ,
il- vient
Lui
. 9 ' = ni
ce qu’on peut écrire
e V 1 / = e V * Lm > = m 1
r = Lm .e
Lin
Si donc 011 fait tourner l’axe polaire en posant
il viendra
n LLm
équation identique à la proposée. Ainsi la spirale logarithmique a pour développée une spirale égale tournée
autour du pèle de l’angle complémentaire de
Lm
On peut chercher, d’après cela, une spirale qui soit sa propre développée, de façon que toute droite normale en un point lui soit tangente en un autre. 11 suffira pour cela d’égaler l’angle de rotation à des circonférences entières qui ramèneront la courbe dans la même position. De là l’équation transcendante
■n LLm , ,
2 Lm
qu’il faudrait résoudre par rapport à Lm , et qui admet une . infinité de racines, puisque h reste quelconque. La solülion la plus simple correspond à k — i et fournit la spirale de * y5 degrés environ.
159. Rectification . — Toute développée peut être rectifiée exactement; c’est-à-dire qu’on peut toujours assigner
Fig. ,i3.
une ligne droite d’une longueur égale à celle d’un arc quelconque de cette courbe.
Si nous prenons en effet deux points infiniment voisins o et i et que nous menions leurs normales, elles donneront en V le centre de courbure. On pourra alors considérer oi comme un arc de cercle décrit autour de i’, et, par suite, ses deux rayons n' et ot' comme égaux. D’sfprès cela, le
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL. Iq3
rayon suivant iV sc composera de 1 1' ou 01' et du i' 2'. Ce qui donne
Pi = P« + d(J ,
en désignant par <7 l’arc indéfini de développée. On aura de même
. ' pi = ,pi,.-+- .
P« = p«— 1 H- En ajoutant membre à membre, il reste
p„ = pi -4- fia, -4- d t. -+- d ffj -H . , -4- d tr„ , ou plus simplement
ce qui montre que l’arc de développée est égal k la di (Té renie des rayons de courbure qui aboutissent à ses extrémités.
Ainsi donc quanduneligne est la développée d’une courbe connue, on peut la rectifier par le tracé de cette courbe. Nous saurons, par exemple, assigner la longueur d’un an; de seconde parabole cubique, puisque la construction des rayons de courbure qui aboutissent à ses extrémités n’exige que celle de scs tangentes que nous avons trouvée ( 118 ) et de leur intersection avec une parabole du second degré, qu’on peut toujours obtenir avec la règle et le compas.
Ce résultat m’est pas sans intérêt, car cette courbe est la première que les géomètres soient parvenus à rectifier.
160 . Imaginons que la développée d’une ligne quelconque serve de contour à une règle courbe ou pistolet? qu’on attache en un de scs points l’extrémité d’un fil flexible et inextensible, enroulé sur le pistolet, et qu’où le déroule peu à peu en le maintenant toujours tendu. Ce fil sc détache de la règle, suivaut une tangente qui augmente
194 LIVRE m. , ,
de longueurs égales à celles dont diminue la portion enroulée, puisque ^ensemble constitue la longueur invariable du fil. Un arc du pistolet est donc toujours égal à la différence des tangentes qui partent de ses extrémités, et, par suite,
. l’extrémité du fil décrit la courbe dont le pistolet forme la développée. Delà un moyen de description mécanique pour une courbe plane quelconque.
C’est de cette propriété que dérive la dénomination de développée. La courbe qui lui donne naissance premj par rapport à elle le nom de développante. Une développante n’a qu’une développée, mais une développée a une infinité de développantes; car la longueur absolue du fil n’est pas déterminée et on peut l’arrêter par la pensée en chacun de ,
ses points. Comme chaque position du fil est une normale de la développante considérée, il forme partout une normale commune à toutes les développantes. Ses différentes portions mesurent donc (120) la plus courte distance des développantes que décrivent leurs extrémités, et comme le fil est inextensible, ces distances restent constantes. Les développantes -d’une même développée sont ainsi-, à pro-, ✓ . .
premeut parler, des courbes parallèles, dont la distance mutuelle reste partout la même. ■ ’ - \
On peut aussi les considérer toutes comme les enveloppes d’un cercle de rayon fixe, mais arbitraire, dont le centre décrirait l’une quelconque d’entre elles, il est clair en effet que si le centre parcourt tin arc infiniment petit qu’on peut considérer comme- rectiligne, les éléments de l’enveloppe, c’est-à-dire les tangentes communes aux deux positions du cercle, seront parallèles entre elles et à l’arc parcouru. Elles auront donc la même normale, ce qui est le caractère des développantes d’une même développée.
