THÉORIE DE LA CYCLOIDE

161 . On a pu facilement sc convaincre des ressources que la méthode infinitésimale trouve pour son application dans les procédés du calcul différentiel. Mais il ne faut pas oublier que ce calcul n’est que l’instrument, tandis que le principe même de l’emploi des infiniment petits constitue la-méthode, dont on a pu également apprécier la puissance.

On peut aussi appliquer ce principe à des considérations directes de géométrie, de mécanique ou de physique mathé- ■ matique, ce qui permet souvent d’éviter de longs calculs. Pour en montrer un exemple, je choisirai la théorie d’une courbe célèbre par les travaux auxquels elle a donné lieu.

Cette ligne est la cycloïde. On appelle ainsi la trajectoire que dédKt un point de la circonférence d’un cercle générateur qui roule sur une droite sans glisser, c’est-à-dire de manière que les arcs dont il tourne soient égaux aux portions de cette droite sur lesquelles ils s’appliquent.

La cycloïde se compose d’une infinité de branches pareilles, dont on ue considère ordinairement qu’une seule ( Ji g. 14, p. 196). Elle s’appuie sur la ligne droite par deux rebroussements de première espèce dont les tangentes sont verticales, et elle offre au point le plus haut un sommet où la courbure atteint son minimum. L’ordonnée de ce sommet ' est la hauteur, elle est égale au diamètre a r du cercle générateur. L’intervalle des rebroussements est la base, elle

a pour valeur la circonférence 2Tt r.

162. Tangente. — Substituons au cercle, un polygone régulier. Son roulement se composera d’une série de rotations autour des sommets qui se trouvent suecessivcment en contact avec la base. Dans chacune d’elles le point décrivant se meut sur un cercle qui a son centre en ce sommet. La trajectoire est ainsi formée d’une série discon-

Fig. i/|

tinue d’arcs de cercle. La normale de chacun d’eux passe en son centre, c’est-à-dire au point de contact correspondant.

Si maintenant nous supposons le nombre des ^tés infini et ceux-ci infiniment petits, nous pouvons substituer le cercle au polygone, et la cycloïde à la série d’arcs de cercle dont elle forme l’enveloppe. Comnjie la normale n’a «

pas cessé de passer par le point de contact avec la base, on péut dire que dans la cycloïde la normale s'obtient en joignant le point décrivant au point le plus bas du cercle générateur.

Si nous tirons MT, l’angle en M sera inscrit sur le diamètre, MT sera donc perpendiculaire sur la normale, et, par suite, tangente. Donc dans la cycloïde, la tangente s’obtient en joignant le point décrivant au point le plus haut du cercle générateur.

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES BU CALCUL DIFFÉRENTIEL. lyy

163. Développée. — Je vais montrer que la développée de la cycloïde est une cycloïde égale qu'on obtient en abaissant la proposée d'une quantité égale à sa hauteur, et la transportant, parallèlement à la base d’une longueur égale à la moitié de cette base.

Il me suffira pour cela de faire voir que la portion de cycloïde RCR'ft, est 1’ enveloppe des normales de RMSR, , ou qu’une normale quelconque de celte dernière est tangente à l’autre.

Je figure le cercle générateur MNT pour la position M du point décrivant. N étant son point le plus bas, MN sera la normale de la proposée. Je trace, d’autre part, le cercle NCN' symétrique et égal , puisque les hauteurs sont les mêmes. Je le considère comme cercle générateur de la cycloïde inférieure, le point décrivant étant dès lors C.

Comme N est son point le plus haut, CN sera la tangente à cette cycloïde. La question est donc de faire voir que MIN «t NC sont en prolongement l’une de l’autre.

. Or l’arc de cercle MN est égal à NR, puisque la cycloïde . se décrit en appliquant sur la base des arcs de cercle égaux aux portions de cette base. Mais NR est la différence de RQ et NQ, -c'est-à-dire d’une demi -circonférence ou de NCN' et de N'R' qui est égal à N'C pour la raison qui vient d’être expliquée. Cette différence est précisément l’arc CN.

II est maintenant évident que les cordes NM, NC qui sont menées par le point de contact de deux cercles égaux, de manière à intercepter des arcs égaux, sont en prolongement l’une de l’autre. # c. q. f. d.

164. Courbure. — Le rayon de courbure est la portion de la normJlc MN comptée depuis le point d’incidence jusqu’à sa rencontre C avec la développée. Mais on vient de voir que les arcs NC et MN sont égaux, les cordes sont

Livra ni.

par suite égales. D’où il suit que dans la cycloide. le rayon de courbure est double de la normale.

Rectification . — La cycloïde RC R' peut maintenant être considérée comme nue développée. Un arc RC sera donc égal à la différence des rayons de courbure qui aboutissent à scs extrémités (159). Mais le rayon de courbure qui est toujours double de la normale, s’annule en R. Par suite, l’arc RC est égal à MC ou au double de CN. Donc dans la cycloïde F arc est double de la tangente. 11 est entendu que l’on compte pour cela l’arc à partir du sommet, et la tangente jusqu’à la base supérieure.

Cette manière d’estimer l’arc ne particularise du reste en rien, car si on en veut mesurer un dont les extrémités soient quelconques, il suffit de l’envisager comme la différence de deux autres qui aboutissent du sommet à chacun de ces deux points.

Si nous considérons une demi-cycloïde, sa tangente est là hauteur ou le diamètre. Par suite, la longueur totale de * la cycloïde est égale à quatre fois le diamètre du cerclb générateur. Ainsi le clou d’une roue décrit deux fois plus de chemin que s’il s’élevait et s’abaissait verticalement.

105. Quadrature. — Si je prends un point m sur la cycloïde, la tangente mt aboutira au point le plus haut t du cercle générateur (102). J’y marque un point infiniment voisin m' que je peux aussi bien considérer comme situé sur la courbe, puisqu’il en est à une distance du second ordre (148, note 2 ). La simili^ule des triangles mm' h, mth donne la proportion

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