W = HT

ina . aa

mt

ma

= ci . bb'.

On en déduit

Le premier membre est la mesure du rectangle mliaa' que l’on peut confondre avec le trapèze mixlilignc nun'aa', car il n’en diüèrequc par une quantité qui est du second ordre, puisque ses deux dimensions sont infinitésimales. Le second membre mesure de même le trapèze mixtiligne/>/>'cc'. Il y a donc à chaque instant égalité entre les accroissenjents que reçoivent le triangle mixliligne cycloïdal Sam et le demi-segment circulaire S bc, lorsque le point ni dért-it la courbe. Mais ces deux surfaces sont nulles ensemble quand le point part de S, donc elles sont constamment égales. Par suite l'aire de la cycloïde est égale au demi-segment cor- ■ respondant du cercle générateur.

Le triangle entier SP, R, est ainsi égal au demi-cercle S cQ, et la somme des deux triangles SPll-t-SP,R, à l’aire du cercle générateur. Or celle de la cycloïde RSR, s’obtient en retranchant cette somme du rectangle PP, RR, qui a lui-mème pour mesure le produit de la base 37:/-, par la hauteur ir ou 4 wr *. La différence est 3r/% et, par suite, l’aire de la cycloïde entière est trip ^ de celle du cercle générateur.

166. Centre de gravité ('). — Si on cherche le centre de gravité de la cycloïde entière, on reconnaît d’abord qu’il est situé sur l’axe de symétrie, et il suffit de trouver sa distance à la base. •

Nous venons de voir que les éléments mm'aa ' et bb'cc' ont même surface. Le centre de gravité de ces rectangles infiniment étroits peut être .considéré comme situé au -milieu de leur longueur. Mais l’un est disposé borizonta-

(*) Les paragraphes suivants exigent quelques notions de mécanique, h la vérité des plus répandues. On pourra, si on le veut, les passer sans le moindre inconvénient, car ce sont des propositions détachées. Elles ont été placées ici tant pour compléter la théorie de là cycloïde que pour montrer quelques exemples de l'application directe de la méthode infinitésimale à d’autres sujets que la géométrie pure.

LIVHK III.

lement et l’autre verticalement, par suite la distance à la base supérieure sera pour mni'aa' moitié de ce qu’elle est pour bb'ccf. Il en sera donc de même des moments de ces éléments, et, par suite, encore de même du moment total des aires qu’ils composent, à savoir le triangle SP, R, et le demi-cercle SQ, ou encore l’ensemble des deux triangles SPR-f-S, P, R, et le cercle entier SQ. Les aires de ces deux*espaces étant égales, d’après ce qui précède, le centre de gravité de la première doit être moitié plus près de la base supérieure que celui de la seconde. Mais celui-ci est au centre meme du cercle, c’est-à-dire à une distance égale au rayon. Donc le centre de gravité, de l’ensemble des* deux triangles est au milieu du rayon supérieur.

D’après cela, les surfaces étant, pour le rectangle PP, RR,, pour l’ensemble des triangles SPR-f-SP, R,, et pour la cycloïde RSR,, comme les nombres 4, i, 3 ; et les distances de leurs centres respectifs à la base inférieure étant,

d’après ce qui précède, r, - r et x, on aura, en prenant les

moments par rapport à cette . base,

Ainsi le centre de gravité de la cycloïde est situé aux cinq douzièmes de la hauteur.

167. Tautochrone. — Imaginons un point pesant mobile dans la concavité d’une cycloïde, sans frottement. On peut réaliser par la pensée ce mouvement au moyen d’un fil flexible inextensible et sans masse, dont l’extrémité serait attachée en R' au rebroussement de la cycloïde R IL R , , et dont la longueur serait de deux diamètres,- c’est-à-dire

"égale à la demi -cycloïde R'R (164). Nous avons établi, en effet (160), ce moyen général de description des courbes

Fij;. i5.

au moyen de leur développée. Je vais montrer que ce pendule cycloïdal effectuera toutes ses oscillations dans le même temps, ce qu’on exprime en disant que la cycloïde est tautochrone. Cette proposition, que l’on énonce souvent pour le pendule simple ou circulai/ e, n’est alors qu'approximative et bornée aux très-petites amplitudes. Elle est, au contraire, entièrement rigoureuse pour la cycloïde depuis les plus petits écarts jusqu’à l’oscillation complète qui ferait, parcourir au mobile la totalité de la courbe.

Evaluons la force tangentielle qui détermine seule la loi du mouvement sur une courbe fixe. Elle aura pour valeur le produit du poids constant par le cosinus de l’angle que fait la verticale avec la tangente MT, c’est-àdire de l’angle MTN. Celui-ci s’exprime dans le trianglerectangle par le rapport de MT à TN. Mais TIN est constant et égal à la hauteur, donc la force est proportionnelle à la 'tangente MT ou à l’arc MS qui en est le double (164) . Ainsi la force tangentielle varie, à chaque instant, en raison du chemin qui reste à parcourir pour atteiudre le sommet.

D’après cela, imaginons deux mobiles qui partent cii-f semble sans vitesse initiale de deux points quelconques de la cycloïde. Leurs distances au sommet, estimées suivant la trajectoire, sont proportionnelles aux forces tangenticlles qui les sollicitenrou aux accélérations tangentielles qui sont le quotient de ces forces par les masses. Or .ces accélérations peuvent être considérées "comme constantes pendant un intervalle de temps élémentaire, en négligeant vis-à-vis d'elles leur variation qui est nécessairement infiniment petite. Le mouvement élémentaire est donc uniformément accéléré, et, par suite, les vitesses acquises, proportionnelles aux accélérations, ainsi que les chemins décrits. On voit ainsi que les distances ont diminué de quantités qui leur sont proportionnelles. Elles ont donc conservé leur rapport et les mobiles se retrouvent dans les mêmes conditions, sauf qu’ils sont en outre, animés de vitesses initiales qui sont aussi dans ce même rapport.

Dans le second intervalle de temps" les choses se passeront de même pour ce qui concerne la force. Quant aux espaces décrits en raison des vitesses acquises, ils seront proportionnels à ces vitesses, c’est-à-dire toujours dans le même rapport. De sorte que les distances au sommet auront encore conservé ce rapport à la fin du second élément de temps, et ainsi de suite.

On voit donc que les deux distances resteront constamment proportionnelles, et, par suite, qu’elles s’annuleront ensemble, ou que les deux mobiles atteindront le sommet en même temps. D’où il suit que toutes les oscillations du pendule cjcloïdal ont la meme durée.

168. Urac/iistochrone. — La cycloïde jouit encore d’une autre propriété importante, relative au mouvement des. corps pesants. Elle -est la brachislochrone ou la courbe de

plus vite descente. On en peut rendre compte assez simplement de la manière suivante.

Représentons par QR le niveau d’où le mobile part sans vitesse initiale. Figurons un angle quelconque AC A' infiniment petit, et cherchons la manière dont le corps doit

Fig. 16.

traverser cet angle pour que ce soit dans le plus bref délai possible. Si l’on savait d’abord en quel point M le mobile atteint le côté CA, il est clair qu’il devrait alors se mouvoir suivant une droite MM' menée perpendiculairement sur CA', car c’est ainsi qu’il atteindrait cette droite par le clie- .min le plus court avec la vitesse qu’il a acquise lorsqu'il arrive en M. Mais l’angle C est infiniment petit, par suite - MM' est perpendiculaire aussi bien sur CA que sur CA', et ces deux droites peuvent être considérées comme deux normale^ consécutives de la trajectoire. Le point C sera donc le rentre et MC le rayon de courbure. Il reste à trouver le 'rapport qui doit exister entre la distance MN = x cl la longueur fixe NC = l.

Or, le temps du parcours de MM' sera, à vitesse égale, proportionnel à cèt élément, et celui-ci à la distance /-f- x, qui le sépare du centre C. Il sera, au contraire, en raison inverse de la vitesse que le mobile possédée» arrivant en M. .Celle-ci étant due à la hauteur qui sépare M du niveau Qlt du point de départ, sera proportionnelle à la racine, carrée de cette hauteur et par suite à s'x. En définitive, le

204 l.IVRE III.

temps en question peut s’exprimer, sauf des facteurs constants, par

Telle est la quantité qu’il faut rendre minimum par un choix convenable de la valeur dex.

Or elle est la somme de deux termes dont le produit est constant et égal à l\ elle sera donc minimum (87) quand ces deux termes seront égaux,

Ainsi INC est égal à jMN ou MC double de MN. Le rayon de courbure est donc double de la normale MN en arrêtant celle-ci à la ligne fixeQR. Il suit de là (164) que la brachistochrone est une cycloïde renversée, déterminée par la condition d'avoir son rebroussement au point de départ cl de passer par le point d'arrivée.

A l‘P I.ICATIONS GÉOMÉTRIQUES DO CALCUL DIFFÉRENTIEL. 200