FORMULES GÉNÉRALES

169. On appelle lignes à double courbure ou courbes gauches celles qu’il n’est pas possible de faire tenir dans un plan. Nous les rapporterons à trois axes coordonnés quelconques. Nous considérerons .r connue la variable indépendante; y et z en seront deux fonctions, d’après les équations de la courbe.

La tangente se définit pour unelignfgauche comme pour ,une ligne plane. Nous l’euvisagerons comme une droite menée par deux points de la courbe infiniment voisins. Les projections de ces points appartiendront à la projection de la courbe, la droite qui les joint sera la projection de la tangente, et comme elle aura deux points communs avec la projection de la courbe, elle sera tangente à celte projection. Ainsi les projections de la tangente sont les tangentes de la projection.

Nous.rentrons parla dans le problème des tangentes aux lignes planes, ce qui donne pour les équations de la tangente (117),

dx dy dz

Dans ces formules dx, dy, dz , ou plutôt leurs rapports, doivent être tirés des équations des projections de la

courbe, ou des deux équations de Celle courbe, quelle que soit leur forme. * ... *

170. On appelle plan normal celui qui est mené par un r point de la courbe à angle droit sur la tangente. Toutes les

droites qu’on y trace par le point et incidence sont des perpendiculaires à la tangente qu’on appelle normales.

Si nous nous bornons aux coordonnées rectangulaires, les coefficients des variables devront être réciproques de ceux de la tangente, c’est-à-dire égaux à dx, dj, dz. Comine du reste le plan doit passer au point (.r, y, s), il aura pour - équation

1 (54) (X — 3r)dx -+-.(Y — y) dy -+-(Z — z) dz = o.

171 . Concevons qu’un plan soit mené par la tangente, de manière à rencontrer encore la courbe dans le voisinage. Si on le fait tourner autour de cette droite dans le sens convenable, la seconde intersection ira en se rapprochant’ du point considéré et finira par le dépasser. En arrêtant le plan ' dans la position précise où cette intersection disparait momentanément, on obtient le plan osculateur. Nous pouvons le considérer comme mené par la tangente et un point infiniment voisin du point de contact ou encore par deux

^ tangentes infiniment voisines. 0

l.a condition de passer au point (x, y, z) fournit pour des coordonnées quelconques l’équation

celle de contenir la tangente qui a pour équations (53) donne, én substituant à X- — x , Y— y, Z — z, les quantités proportionnelles dx , dy, dz ,

dx mdy ndz = 6 .

At*Pl.lCAUGNS GÉOMÉTRIQUES DI’ CALCUL DIFFÉRENTIEL. lO'J

Pour que le plan renferme encoreja tangente voisine-, il * suffit, d’après «ne remarque générale (142), de dilféreniier cette relation

nid' y -+- nd'z = o.

En résolvant ces deux équations, on en tire

cPz <Py‘

d.r' dx'

dy d‘z dz d'y ’ dy/Pz dz d'y ’

dx dx 1 dx dx' dx. dx 7 dx dx 1

en substituant et chassant le dénominateur, on obtient l’équation du plan osculatcur

( r lL— ^ — ‘ül\ (y

. tPz

\ dx dx 1 dx dx' t

,<Py

dr'

On a coutume de distinguer entre toutes les normales celle qui est située dans le plan osculateur. On l’appelle normale principale.

Comme toute normale est située dans le plan normal, celle-ci résultera de son intersection avec le plan osculateur. La normale principale se trouve ainsi représentée par les équations (54) et (55).

472. Pour apprécier la courbure d’une ligne gauche en un de ses points, on lui substitue encore le cercle oscillateur qui a avec elle le contact le plus intime possible, c’est-à-dire • trois points infiniment voisins communs. Je désignerai par p son rayon ou le rayon de courbure , et par £, v, £ les coordonnées du centre de courbure.

Le plan de ce cercle passant par trois points infiniment voisins n’est autre que le plan osculateur. Ainsi l’une des équations du cercle sera (55). Nous déduisons immédiatement de là une relation entre les inconnues, car le centre

* du cercle étant situé d#ns son plan, ses coordonnées £, »j, Ç doivent satislaire à l’équation (55), ce qui donne

Si nous considérons, en outre, le cercle osculateur comme le grand cercle d’une sphère, on pourra prendre pour sa seconde équation celle de cette sphère,

(x - ?)■ -h (V - „)’ + (z - çy= P ’

Pour exprimer qu’elle passe au point considéré et à deux autres infiniment vqisins, nous substituerons aux coordonnées courantes X, Y, Z celles x,y, z de ce point et nous •différentierons deux fois (14-2). Il vient ainsi