THÉORIE DE L’HÉLICE

174. Si on trace une droite sur un plan flexible et inextensible et qu’on enroule celui-ci sur un cylindre de révolution, la transformée de la droite formera une ligne gauche qu’on appelle hélice.

Comme la ligne droite est identique à elle-même en tous ses points, ainsi que le cylindre de révolution, il est clair que l’hélice sera aussi superposable à elle-même dans toutes ses parties (').

(') L’hélice, le cercle et la droite sont les seules lignes qui jouissent de cette propriété.

Elle permettrait de donner l’idée la plus nette de la forme d’une courbe gauche en un de ses points au*rooyen d’une hélice osculatrice, analogue au cercle osculatetir et h la tangente -

Cette propriété explique aussi la grande importance de ces trois lignes pour la construction des machines. On a besoin, en effet, de pièces mobiles

Si on mène une génératrice quelconque du cylindre, elle rencontre la courbe en une infinité de points. La portion comprise entre deux intersections consécutives s’appelle le pas pour la génératrice et la spire pour l’hélice.

Un pas et un rayon donnés déterminent la forme d’une hélice, pourvu qu’on en connaisse encore le sens. On distingue, en effet, les hélices à droite et à gauche suivant que l’enroulement s’effectue en avançant et par-dessus, dans l’un ou l’autre de ces sens. Deux hélices ainsi décrites ne sont pas superposables. U y a entre elles la différence qui distingue deux polyèdres symétriques de deux polyèdres égaux.

" Kip. 17.

175. Nous pouvons, sans particulariser en rien, prendre le rayon pour unité, l’axe du cylindre pour axe des x que nous placerons verticalement, et le rayon d’un point A considéré comme origine de l’hélice pour axe des

La section droite AP se transformerait en une ligne droite, ainsi que l’hélice AM, si on déroulait de nouvegp le cylindre, el alors les abscisses AP de la ligne AM seraient

dont les parties successives puissent venir en contact avec une même portion d'un moule identique. On les obtient par l’emploi de cylindres, de surfaces de révolution et d’héliçoïdes qui dérivent de la droite, du cercle et de l’hélice et qui forment les glissières, les pièces tournantes el les vis de toutes espèces.

proportionnelles à ses ordonnées MP ou x. On peut donc représenter l’arc de cercle AP par* mx. Or y est évidemment le cosinus et z le sinus de cet arc, -et comme ils sont pris dans un cercle dont le rayon est l’unité, on a simplement

y -- cos mx , 2 = sin mx.

On voit donc que la projection de l’hélice sur un plan parallèle à son axe est une sinusoïde.

On tire de là les formules différentielles

dr

dz

dx ’

dx

— — = — m 7 cos mx.

m, ■ il

dx 7 ’

dx‘

m cos mx ,

— m‘ sin mx.

tfy d'z dx dx 7

az a - r • , .

- 7 - - 7 — r — 0,3 sln ’ mx m 1 cos ’ mx = «*’.

dx dx'

176. Si on substitue ces valeurs dans les équations de la tangente (53), il vient

sin/n.»: cos mx

En appelant i l’inclinaison de la tangente sur le plan de section droite, sini sera le cosinus de l'angle que fail cette droite avec l’axe des x. Par suite,

sin» =

sin’ mx cos 7 mx

Cette inclinaison est par suite constante et fournit la valeur du paramètre m

m xx cot i.

On pourra, d’après cela, construire la tangente, puis-

ata

qu’elle doit être dans le plan vertical tangent au cylindre, avoir l'inclinaison i et être dirigée d’un certain côté connu d’après le sens de-la courbe.

En formant l’équation du plan normal, il vient

(X — x) — /nsin inx{ Y — y) -+- m cos mx (Z — *) = o.

On peut la simplifier en rendant h y et z leurs valeurs |

(62)' — (X — x) — Y sin mx H- Zcosmr = O. <•

Celle équation est satisfaite pour le point X = .r, Y = Z = o, ce qui montre que le plan normal coupe l’axe à la hauteur du point d’incidence M. Il contient par suite le rayon MC de ce point.

Si de plus on forme le cosinus de l’inclinaison du plan sur celui yz de la section droite, on reproduira l’expression précédente. Donc cette inclinaison est constante et complémentaire de celle de la tangente. .11 est facile par suite de construire le plan normal en menant par le rayon un plan sous l’inclinaison 90° — « et du côté opposé ait sens de la côurbe.

Si ôn forme l’équation ( 55 ) du plan oscillateur, il vient

/»’ (X — x) -+- m ’ (Y — /) sin mx — m 7 cos ni x (Z — *)= o, qui se réduit encore à

m ( X — x) -4- Y sin/n.r — Zcosmx == o.

On fçra voir de la même manière qu’il contient le rayon et que son inclinaison est constante et ^gale à 1, ce qui permet de le construire facilement.

La normale principale est représentée par les équations

APPLICATIONS GÉOMÊTRtQl F.S DU CALCUL DIFFÉRENTIEL. 2 I !î

(62) et ( 63 ). Or si on les ajoute, elles donnent

et d’après cela l’une quelconque d’entre elles devient Z = Y .tang/».r .

Ces deux formules montrent que la normale principale est horizontale et qu’elle rencontre l’axe, c’est par suite le rayon MC lui-même.

L’expression générale (61) du rayon de courbure donne

( 1 -1- ni 1 sin 3 m.T -+■ ni* cos 3 mx ) 1 1 1 -+- m 3 )’

V'/n* m* sin 3 mx -I- #»• cos 3 mx

Ainsi le rayon de courbure de l’hélice est constant.

Le centre de courbure s’obtiendra en portant sur le rayon

du cylindre la longueur — ou tang’ i au delà de l’axe. Il s'ensuit que le lieu de ces centres sera une hélice de même sens et de même pas, mais de rayon ~ Si l’hélice est en particulier de 45 degrés, le lieu des centres de courbure est une hélice égale avancée d’un demi-pas ou tournée d’une demi-circonférence.

La surface réglée lieu des normales principales sera de même un hélicoïde à plan directeur ayant pour directrice la courbe elle-même. C’est la surface de la vis à filet carré ou de l’escalier tournant.

LIVBE III.