PLAN TANGENT

177. On rapporte une surface courbe à trois axes coordonnés, et on la représente au moyen d’une équation entre les trois variables. L’une d’elles, z par exemple, devient par là fonction des deux autres x, y, considérées comme variables indépendantes. La nature des calculs change par suite complètement de face lorsqu’on passe de l'étude des lignes à celle des surfaces. ' 1

Cherchons d’abord le lieu géométrique des tangentes à toutes les courbes qu’on peut tracer sur une surface en un de ses points. Pour cela prenons un point infiniment voisin sur l’une de ces courbes, ce point se trouvera aussi sur la surface, et, par suite, l’accroissement que reçoit l’ordonnée pour passer de l’un a l’autre sera sa différentielle totale

* rf ‘=(£) Vfc+ (J)^

Mais ce point appartient à l’une des tangentes dont les équations peuvent s’écrire

dx ity dz

Comme tir, dy, dz sont les mêmes, nous pouvons les éli-

applications géométriques i>r calcul du férentiel. 21 5 miner entre ces relations, cl il vient

Celte équation est du premier degré et représente un plan. Donc toutes les tangentes sont comprises dans un même plan, qu’on appelle le plan tangent.

Nous aurons parfois besoin de connaître l’inclinaison <j> du plan tangent sur celui des xy. Elle a pour valeur

On peut donner à l'équation du plan tangent une forme très-symétrique en spécifiant celle de la surface

On en déduit, en effet, en diifércntiant successivement par rapport à x et y, -

Il vient en substituant

CD < x - '> + ( f )>'■—'>+(!) < z -

Exemple. — Cherchons le plan langent aux surfaces du

ai6

second ordre

/ Ai'+ A' y 7 4- A" z J

(65) — K- Bxy-+- B' xz -t- H" yz

( -+- Cx -t- C'y 4- C-z + D = o.

J1 vient immédiatement . . • ‘1

(aA* -+- By -yB'.z -+-C)(X — x)

+ ( 2 A'/+Bx +B"i+C')(Y-/) ' '

+ (aA"i+ B'r + BV + C)(Z- *) = o-,

ou, en ajoutant le double de l’équation de la surface,* <

(a A -t- By + B ’z -I- C) X -t- ( 2 A 'y — f- B x -+- B" z -t- C') Y + (2 A’î + B'x+BV + C")Z 4- (Cx -h C'y +C'î+îD) = o. 41

178. Normale. — On appelle normale d’une surface la droite menée par un point dit à' incidence perpendiculairement sur son plan tangent. On voit qu’une surface a une normale unique et un plan tangent qui renferme une infinité de tangentes, tandis qu’une ligne' a une tangente unique et un plan normal qui contient une infinité de normales.

Si on se borne aux coordonnées rectangulaires, les coefficients des variables devront être les inverses de ceux de l'équation du plan tangent. Comme, en outre, la normale doit passer au point d’incidence (x,y, z), elle aura pour équations

La normale commune de deux surfaces a, comme celle

Digitiz

des lignes, la propriété de mesurer leur plus courte et leur plus longue distances mutuelles. Si on considère, en effet, l'e*pression ,

A 2 =(x — x'y + (jr— /Y 4- (*— . z')’>

qui renferme quatre variables indépendantes x,y,x\ ÿ dont 2 , s' sont respectivement fonctions, d’après les équations sous-entendues des deux surfaces ; on aura (92), en djlféren-' tiant en premier lieu par rapport à x dont z seul dépend,

Les points (x, j-, z ) et (x, y, z) satisfont donc à l’une des équations de la normale au premier d’entre eux. En traitant de même les trois autres variables indépendantes, on mon- .trerait que la droite en question est la normale commune des deux surfaces.

179. Contour apparent . — On appelle contour apparent' A' une surface sur un plan, la projection sur ce plan de la série des points dont le plan tangent lui est perpendiculaire. C’est aussi l’enveloppe des traces de ces plans tangents. ,

Prenons ce plan pour celui des XY. Pour les points en question, la coordonnée Z devra disparaître de l’équation du plan langent, car si elle y restait, l’équation lui attribuerait une valeur unique quand X et Y seraient déterminés. Au contraire, le plan étant vertical contient toute

la verticale du point X,Y, et, par suite, Z doit rester indéterminé. Mais le coefficient de Z dans l’équation du plan

tangent est { — • On a donc aux points cherchés

•Si 011 . joint à cette relation l’équation de la surface et qu’on élimine z entre les deux, on aura entre x et y celle du contour apparent.

Exemple. : — Cherchons le contour apparent sur le plan horizontal des surfaces du second ordre représentées par l’équation (65). L’équation dérivée par rapport à z sera

En tirant de là z pour le substituer dans (65) et opérant toutes les réductions, on trouve

(4 AA* — B' 7 ) a 5 + (4 A' A" — B"’)/’ 4- a (2 A" B — B' B") xy + 2 ( 2 C — B'C*.)*+ 2 ( 2 C' — B"C") y 4 - (4 A" D — C"‘) = o,

équation d’une courbe du second ordre, dont la nature sera indiquée par le signe de l’expression

A" ( AB" 1 4- A' B' » -f- A" B 3 — 4 A A' A" — BB' B" ),