FAMILLES DE SURFACES

180. Les surfaces sont susceptibles d’étre classées par familles d’après un mode de génération commun. Chacune d’elles peut être représentée par une équation collective, dans laquelle figure au moins upc fonction arbitraire, à

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL. 2Ip

cause du degré d’indétermination laissé dans le mode de génération. Quelques exemples vont dissiper ce que ces généralités peuvent avoir d’obscur.

Exemple I. — On appelle cylindres les surfaces engendrées- par le mouvement d’une droite ou génératrice qui reste parallèle à une direction fixe et s’appuie constamment sur une courbe quelconque appelée directrice. ■

Si On prend les équations de la génératrice sous la forme

x — mz -+- a, y — nz + b ,

m et n devront être considérées comme des constantes absolues relatives à la direction fixe qui a été adoptée; a et b, au contraire, sont des paramètres variables dont les diverses valeurs caractérisent les différentes génératrices. Un seul de ces paramètres reste arbitraire, l’autre s’en déduisant constamment par la condition que la génératrice ait un point commun avec la directrice. Si donc on considère x,jr, z comme les mêmes dans les deux équations de celle courbe et les deux précédentes, et qu’on les élimine entre ces quatre relations, on obtiendra celle

qui relie les deux paramètres.

Si on remplaçait a par cette valeur dans les deux égalités ci-dessus, on aurait les équations d'une génératrice en particulier. Si, au contraire, on fait disparaître les deux paramètres entre ces trois formules, on aura une relation qui conviendra à tous les points de toutes les génératrices et qui sera par suite l'équation de la surface. Le résultat de celle élimination est évidemment

(66) x — mz=f(y — nz). ' ,

Telle est l’équation générale des cylindres .

Exemple 1 II. — Ou appelle cônes les surfaces engendrées par le mouvement d’une droite ou génératrice qui pivote, autour d’un point fixe appelé sommet en s’appuyant sur une courbe directrice quelconque.

Si a, (3, y sont les coordonnées du sommet, ou pourra prendre les équations de la génératrice sous la'forme

a cl b étant les deux paramètres arbitraires. Ils sont liés par une condition qui doit exprimer que cette droite rencontre la courbe et qu’on obtiendra, en éliminant s entre

leurs quatre équations, ,

Si maintenant on fait disparaître de ces trois formules les paramètres a et b qui particularisent chaque génératrice, on obtiendra l’équation générale des cônes

181 . Equations aux différentielles partielles. — Chaque famille de surfaces est aussi susceptible d’une équation collective où ne figure plus aucune fonction arbitraire et où s’introduisent à la place les dérivées partielles de l’ordonnée, Si, eu’ effet, on difl’érentie successivement par rapport à x et y l'équation finie de la famille, on obtiendra deux relations où se trouvera la dérivée de la fonction arbitraire, et on pourra l’éliminer entre elles, de manière à faire disparaître toutes traces de celte fonction. Si, dans des exemples plus compliques que ceux que nous avons choisis, la fonction elle-même subsistait en même temps que sa dérivée, on aurait pour les faire disparaître toutes les deux trois relations, à savoir, l’équation finie et ses deux dérivées partielles. * •

Exemple I. — Si nous reprenons l’équaiion liniedes cylindres (66)

x— mi =/(jr — ni),

nous en déduisons, en diH'érentiant successivement par rapport à x et jr,

Si on multiplie membre à membre inversement, il vient

ou, en réduisant,

Telle est l’équation dinérentiellc partielle des cvlindres. Exemple II. — On aura de même pour les cônes (67)

inf - A? ~ ï\

— . I*\ ../ r- P'fë)

(*— if ta/

niullipliant