INTÉGRATION PAR DÉCOMPOSITION

192. Premier principe. — La méthode à! intégration par tléconiposition est basée sur cette formule .de calcul did£rentiel

+ — <v) = du dv — 'dtv, ' ;

J (du -t- dv — dtv\ — u -f- v — «' =r J du -+- J' dv — J' div .

On peut ainsi, pour intégrer une somme algébrique, prendre

la somme algébrique des intégrales de chaque terme. Exemple. — Ou aura d’après la formule (83)

— 3 j* x*dx 4-^ J X~’d.r — <jJ*Çg+t) i d(x.-i^t)+3 f x ' dx

-TJ.

fa 2 2

- ^ . r o ; + st/P+c.

193. Deuxième principe . — Lorsqu’on s aperçoit que quelques termes manquent» l’expression pour qu’elle rentre dans un type intégrable, on les ajoute, en ayant soin de les retrancher en môme temps pour ne rien troubler. Puis on intègre par décomposition, en séparant la partie .retranchée dans uneintégrale spéciale, .! la recherche de laquelle l’autre setroüvcainsi ramenée et qui peut être plus facile à trouve?

. ft -

- a3a LIVRE IV.

Exemple I. — > On a d’après (77)

• • r^*-fi±^4, = r^ A -fjîL-

= * — arc tang x -f* C .

Exemple II. — On a aussi d’après (70) et (86)

/* , ràx Ç — 2 xil.r Ç n — 2 x — n ;

J J ym+nx—x*. J 2 yjin+nx—x' J i\Jm+nx—x »

'• — f + « Ç clx

J 2 y]m+nx — x' 5 J ^m-hnx-r x*

. r. ; ; ( -f - nx — x 2 — Jni \ : n

— — y m -f- nx — x 7 — n arc rang T — 2-^ j -f- C.

^ 91 *. Troisième principe. — • On peut combiner les deux méthodes de la transformation et de la décomposition, en changeant la fonction proposée en une somme de parties ; séparément intégrables. ,' . '

Exemple I. — On a d’après (j 4 ) et (76)

>,• ''f ,tx ' ■ f sin’x -H COS 2 .r /• rlx r Hx