Les équations générales d'une normale sont

p et q désignant les dérivées partielles —,9 — ,•

Si maintenant on conçoit une courbe quelconque sur la surface en établissant entre od^ j\ z! une seconde équation au moyen de laquelle ces trois coordonnées dépendront d'une seule d'entre elles , ou de toute autre variable indépendante , on peut se proposer de déterminer cette courbe de manière à ce que la plus courte distance de deux normales, correspondantes à des valeurs infiniment voisines delà constante, c'est-à-dire à deux points infiniment voisins de la courbe , soit un infiniment

petit du troisième ordre, la distance des deux points étant du premier.

Dans le cas actuel, on aura

et Téquation dadS — db da devient

{dy -I- qdz')dp = (dx'-^pdz')dq.

En remplaçant dz par sa valeur ;7<iy H- ^rf^' -, et formant les différentielles dp^ dq d'après les dérivées par-

tielles ^-7^^ , , f^ -7-77 que nous désignerons par r, 5, f,

cette équation devient

-\-pqr-^s{i'h P^) = o.

Cette condition, jointe à celle de la surface, détermine les courbes jouissant de la propriété demandée , et que l'on nomme lignes de courbure de la surface. Nous reviendrons sur ce point quand nous aurons étudié les équations différentielles. Nous nous bornerons à remar-

d/ (juer que Féquation donnant deux valeurs pour ^> il y

a en chaque point de la surface deux directions jouissant de la propriété en question.

(sq--^pqt^s)(^,)^[r{i^q^)^t{i^p^)]^£