CHAPITRE XIIL

PLAN OSCULATEUR d'uNE COURBE. CERCLE OSCULA- TEUR. ANGLE DE CONTINGENCE. ANGLE DE TORSION. SURFACE POLAIRE. CENTRE DE LA SPHÈRE OSCU- LATRICE. CONTACTS DES COURBES A DOUBLE COUR- BURE. DÉVELOPPÉES DE CES COURBES. CONTACTS DES SURFACES.

273. Plan osculateur, — On appelle ainsi la limite vers laquelle tend le plan qui passe par trois points d'une courbe , qui tendent indéfiniment à se réduire à un seul. Soient od ^ y\ z' les coordonnées d'un point quelconque de la courbe, x'-f-Ao:', j^'h-Aj^', z'-\-^z' celles d'un point infiniment voisin, et a:'-4- 2Aa:'+ A*.r', j'-l- aAj'H- A*j', z'-H aAz'H- A*z' celles d'un troisième point de la courbe , les différentielles étant déterminées d'après les accroissements égaux d'une variable quelconque, dont x'^ y\ z' sont des fonctions déterminées.

Tout plan qui passe par le premier point a pour équation

pour qu'il passe par les deux autres, on aura les conditions

A2'=:«AJC'-+-^>A/,

A'z'=ûA'j:'-f- ^AV;

et pour le plan limite ces équations auront lieu entre les différentielles

dx\ dy\ dz\ d'x', d'y', d}z\

CALCUL DES DÉRIVI&ES ET DES DIFFERENTIELLES, ETC. Z8q

Les valeurs de a et & tirées de ces deux équations , et reportées dans celle du plan , donnent Téquation du plan osculateur, qui est

(x — x') {dyd'z'--dz'ipy} -h ij — /) {dz'd'x' — dx^d'z') + (z — z') [da/d^ — dyc^x') = o.

274. Si Ton cherchait la limite des plans passant par la tangente en un point d'une courbe , et par un autre de ses points tendant vers le premier, il est facile de voir qu'on retrouverait le plan osculateur.

En effet , les équations de la tangente sont

et le plan dont Féquation est

z — 3'=:fl(jtr — x')-f- ^(j— /) contiendra cette tangente , silon a

dx' dy'

I = a -— -*- ^ -7-> » OU dz' == adx' -f- bd/^

ou , prenant t pour variable indépendante ,

dz' dx' ^ dy dt dt de

Pour que ce même plan passe par un point ayant pour coordonnées x'-hAx', j^'-f-Aj^', z'-f-Az', il faudra que l'on ait

Az'= aàx'^ b^dy.

Mais on ne pourra, dans cette équation, négliger les termes du second ordre, parce que toua ceux du premier disparaissent , en vertu de l'équation précédente.

En effet, si l'on développe les différences, et qu'on se

SgO LIVRE II.

borne au second ordre , on aura

^ , dz' dH' àt'

dt dt' 2

. , dr\ d^y Ae

-^ dt ^ df" 2

dx' d^x'àt^

Ax' = -7- àt-h

dt de 2

Substituant dans Téquation ci-dessus, les termes qui renferment Af au premier degré disparaissent , et il reste, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre, et

divisant par — > ^ 2

~=.a-^^b^, ou d^z'::=ad^x'^bdy.

Les coefficients a et b sont donc déterminés par les mêmes équations que précédemment, et Ton trouve Téquation du plan osculateur.

On trouverait encore le même plan en cherchaut la limite de celui qui passerait par une tangente et une parallèle à la tangente infiniment voisine.

27S. Angle de contingence, — On aj)pelle ainsi l'angle de deux tangentes infiniment voisines, ou, pour parler rigoureusement, la différentielle qui correspond à cet angle infiniment petit \ c'est-à-dire une quantité dont le rapport à l'accroissement de la variable indépendante soit égal à la limite du rapport de Tangle des tangentes à ce même accroissement. Ces tangentes n'étant pas dans un même plan, 'leur angle est celui de deux droites qui passeraient par un même point et leur seraient parallèles. Soient a, i, c les cosinus des angles formés avec les axes par la première tangente, et «-h A^z, h -^ ùkby c 4- Ac

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFERENTIELLES, ETC. 3qI

ceux qui se rapportent à la seconde ; le cosinus de l'angle w de ces deux directions sera

cosw= /ï' + b"* -4- c' -f- rtAa -h bàb H- càc

De r équation

a' -h A' -H c' =r ï on tire

2a Art -h 2^ A/>> -h 2cAf 4- Aa' -h Aô'H- Ac' = o;

donc

b> Afl- -h Aft' -H Ac' I — cos w = 2 sm' - = '■ •

Si Ton remplace sin co par co, et les différences par les différentielles, w sera ce que nous avons appelé Tangle de contingence, et Ton aura

w» = da' H- db"" 4- dc\ ou (ùz=)/ da^-h db^ -+■ rfc».

On pourrait encore établir cette formule par des considérations géométriques.

Menant MB [fig- 92) parallèle à la seconde tangente, et prenant MA = MB = i , on a

arc AB =r w.

Projetant le triangle rectiligne MAB sur les trois axes, et appelant X, |[x, v les angles de la direction AB avec les directions positives de ces axes, on pourra écrire

da=z(ù cos X , db =z (^ cos f* , de =10 cos v ,

da

i = ^ da^-^ db^ -H dc\ cos X :

)/ da' '^- db^ -h de'

db de

cos p. = - 5 cos V ==

v/ da' -f- db' + de' )/ da' -H db' -+- de'

Cela fait^ connaître Tanglo de contingence et les cosinus

3g2 LIVRE II.

des angles de la direction prise du point M vers le centre de courbure.

Or on a

dx /// dz

ds ds ds

d'où l'on tire

dsd^ X — dxd^ s dsd^y — dyd^ s

dsd ' z — dzd ' s

dc= ^-, ;

substituant ces valeurs dans celle de w, et observanl qu'on a

ds^ = rir* 4- dy^ ■+- dz\ dsd^s = dxd\x -H dfd'^y -h dzd^z^

on obtiendra

w ==-^ sjd^x^ 4- d^y^ + d^z^ — d's\

On peut faire disparaître d}s de cette expression , en tirant sa valeur de l'équation précédente : on trouve ainsi , toute réduction faite,

27t). Si , au lieu de chercher l'angle de deux tangentes en des points M, M' infiniment voisins {fi g- 93), on cherchait l'angle de la corde MM' avec la corde M'M", en supposant les deux points M' M" correspondants aux accroissements égaux d'une variable quelconque ^, on trouverait la même expression pour l'angle TM'M''. En effet, les cosinus des angles de Mï avec les axes sont les

rapports -rr^r,' tt^» i^r^Mf^^^ diffèrent de quantités infini- * mal MM MM

CALCUL DES DKRIVÉES ET DES DIFFERENTIELLES, ETC. 3g3

ment petites, de leurs limites respectives —9 ^» —• Le

changement de f en f -H di donnera donc les mêmes accroissements dans les uns et les autres, en négligeant les quanlités d'un ordre supérieur à celui des accroissements. Il est donc inutile de recommencer ici les calculs précédents^ et la valeur de TM'M'' aura la même expression que celle de l'angle de contingence c#).

277. Cercle oscillateur. — Dans les courbes à double courbure , comme dans les courbes planes , nous appellerons cercle osculateur la limite du cercle qui passe par trois points infiniment voisins ; ce cercle limite se trouvera évidemment dans le plan osculateur.

Soient M {fig- 94) un point quelconque de là courbe; M', M'' des points qui s'en approchent indéfiniment; O le point de rencontre des perpendiculaires menées par M, ]VF à ces deux cordes, dans le plan qui les contient : M'O sera le diamètre du cercle passant par M, M', M". L'angle O a pour mesure l'arc de cercle MM' M" divisé par le diamètre M'O. Or on peut substituer à cet arc celui de la courbe, ou 2^5 -4- A* 5.

. On aura donc M'O = -rr- en négligeant A* j.

Mais l'angle O est égal à TM'M" qui peut être remplacé par l'angle de contingence w relatif à l'arc As. On aura ainsi, en désignant par R le rayon du cercle osculateur,

R = — ; d'où, en remettant pour td l'une ou l'autre di^ &)

deux expressions données précédemment, on tire les formules rigoureusement exactes

ds' R

\j d'^x'^ -^ dy 4- d'^z' — d\s'

394 LIVBE II.

et

\J{dydU - dzd*yY-\-{dsd*x--dxd^By-\'{dxd*y'-dYd'xY

278. Angle de torsion. — On appelle ainsi l'angle de deux plans osculateurs consécutifs, ou, pour parler plus exactement, la différentielle correspondante.

Soient a, ê, y les angles que fait avec les axes la normale à un plan osculaleur ; on aura , d'après Téqualion de ce plan, x^.j.^ z étant les coordonnées du point de la courbe,

dyd^ z — dzd^y

ces 6

dzd^x — dxd^z

dxd^y — dyd^x D '

en posant

D =i\J{dyd'z — dzd^y )* h- {dzd^x - dxd^ zf -i- {dxd*y — dyâ^x)'.

La normale au plan osculateur infiniment voisin fera avec la précédente un angle égal à celui des deux plans*, si on le désigne par U, on aura, par un calcul semblable à celui qui a donné l'angle de contingence,

U = v/(<'/.cosa)'-f-(rf.cos6)^+(^.cos7)^

Mais il faut l'obtenir en fonction des différentielles de.r, y, z j pour cela, posant

dyd' z — dzd'y = X, dzd^ x — dxd^ z = Y, dxd'^y — dyd'^x = Z, d'où

dyd^ z — dzd^y z=z dlL^ dzd^x — dxd^z = f/ Y, dxd^y -^ dyd^x ■=.d'Ly

CALCUL 1>ES DÉRIVÉES KT DKS UIFFÉRKWTIELLES , KTC SgS

on trouvera

^{X*-^\'-hZ^){dX*-hd\'-^dZ*) — {\d\-hYd\-+-Zd'Ay

v/(Y</Z-ZJY)'-h(Z<fX — X</Z)*>f-(XrfY- Y<fX7^ ~ X»4-Y'-hZ*

Mais on a

YdZ-^ZciY Zf/X — XffZ X(/Y — Y^/X

= dx{d'xd^z — d'zd^x) -h dy[d'zd^x — rf' jp^/'z) -+ ^z ( d'xd^y — r/'/rf'» .r ) .

Donc

<Jx (</V W» g — àî- zd'j) H- ffr (^ ed' x^d*xd'z)-^de {d*xd'y- d^yd* x) {drd*s — dzd*j Yf^dsd^x - dxd'zY-h Çdxd^y.^ dyd^xf

Il n'y a pas lieu de représenter cette seconde courbure par celle d'un cercle qui se présenterait aussi naturellement que le cercle osculateur qui mesure la première.

On trouverait la même expression, en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à elle-même, en considérant trois côtés consécutifs d'un polygone infinitésimal inscrit, et cherchant Tangle que le plan des deux premiers fait avec le plan du deuxième et du troisième.

279. Si le rayon de la première courbure est infini pour tous les points d'une ligne, tous les côtés du polygone infinitésimal inscrit dans cette ligne sont dans le prolongement les uns des autres, et, par conséquent, cette ligne est droite. La condition pour qu'une ligne soit droite pourrait donc s'exprimer par l'équation différentielle

(dyel^z — dzdyy -f- (dzd^x — dxd^zf -h [dxd^y — dfd^xY=: o,

d'où Ton tire les trois équations

riy€p z — dzd\r = o , dzd^ x — dx€p z :n= o , dxd^y — drd'^ x =, o

396 L1VRK II.

OU encore

dz (Le dy

cr. — = o, ^.—- = 0, ^. -— = 0;

dy dz dx

d'où Fou conclut

dx dy ,

a et i étant des constantes arbitraires. Et comme a et i sont les dérivées de az et bz^ il suit d'une proposition démontrée précédemment , que les fonctions x t\. y ne peuvent être que de la forme