X := az ■\- v.^ y z=z bz

a et 6 désignant des constantes arbitraires. On retombe ainsi sur les équations générales de la ligne droite.

Si la seconde courbure est nulle, tous les plans osculateurs se confondront , et la courbe sera plane. La condition pour qu'une courbe soit plane est donc exprimée par l'équation différentielle

dx{d^yd^z — d^zd^y) -+- dy{d^zd^ x-— d^xd^z) -+- dz[d}xd^ y — d*yd^x) == o,

équation qui se réduit à

d^yd^z — d}zd^ 7 = Oj

si Ton prend x pour variable indépendante.

On vérifie bien facilement que cette relation existe pour tous les points d'une ligne située tout entière dans un plan.

280. Surfact: polaire. — Si Ton conçoit un polygone infinitésimal inscrit dans une courbe à double courbure, et qu'on élève des plans perpendiculaires au milieu de ses côtés successifs, la ligne d'intersection de deux de ces plans consécutifs sera le lieu des pôles du cercle passant

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFERENTIELLES, ETC. Sq*]

par les trois sommets correspondants du polygone 5 el sa limite sera le lieu des pèles du cercle osculateur, vers lequel tend le cercle variable.

Il est facile de reconnaître d'ailleurs que l'on trouverait la même ligne en cherchant la limite de l'intersection de deux plans normaux consécutifs.

Si l'on agit de la même manière en tous les points de la courbe donnée , on obtiendra une suite de lignes polaires qui formeront une surface qu'on nomme surface polaire. Elle n'est autre chose que le lieu des centres des sphères limites de celles qui ont trois points infiniment voisins, communs avec la courbe. Cette surface est développable 5 car elle est la limite d'une surface qui se compose d'éléments plans indéfinis compris entre les deux intersections successives de trois plans consécutifs. De plus, ces éléments plans ont pour limite de leurs directions, celle des plans tangents : donc tous les plans normaux à la courbe sont tangents à sa surface polaire, et cette dernière peut être considérée comme la surface enveloppe de ces plans.

281. Sphère osculairice. — On désigne sous ce nom la limite des sphères qui ont avec la courbe quatre points communs qui se rapprochent indéfiniment. Le centre de Ja sphère passant par quatre sommets consécutifs du polygone inscrit, est à la rencontre des deux droites suivant lesquelles se coupent les trois plans perpendiculaires aux trois côtés consécutifs du polygone 5 c'est le point commun à deux droites polaires consécutives.

Les centres de ces sphères successives déterminent un polygone qui tend vers une courbe dont les droites polaires sont les tangentes 5 cette courbe est donc l'enveloppe des polaires. Elle est aussi l'arête de rebroussement de la surface développable, lieu de ces polaires, c'est-à-dire de la surface polaire.

398 LIVRB II.

282. Équation de la surface polaire. — Cette surface est le lieu des intersections successives des plans normaux, ou encore des normales à la courbe donnée. Or l'équatîon d'un plan normal quelconque est

(i) [x -^x')dx' -h [r— y' )dy + [z — z')dz' ^ o.

Si l'on donne à la variable indépendante t^ dont on regarde x\y\ z^ comme des fonctions connues, un accroissement infiniment petit A/, et que l'on considère le plan normal, au point voisin qui en résulte, son équation se composera des mêmes termes que la précédente, plus les termes résultant du changement des quantités x'. y\ -z', djcf^ dy\ dz\ Les premiers termes s'annulent pour les points communs aux deux plans, et il reste, en négligeant ceux du troisième ordre et passant aux diflerentielles,

(a) {x^x')d}a^ '>r{y — x')d'Y' -h (z — z')d^z' — ds'' = 0,

Les équations (i) et (2) ont donc lieu entre les coordonnées X, j-, z de tous les points d une des génératrices de la surface polaire.

Donc on aura 1 équation de la surface polaire, en éliminante', jk', z' entre les équations (i), (2) et celles de la courbe donnée.

283. Centre de la sphère osculatrice, — Ce centre est la limite du point de rencontre de trois plans normaux consécutifs , ou de deux droites suivant lesquelles se coupent les deux premiers et les deux derniers de ces plans. L'une est représentée à la limite par les deux équations (i), (2); l'autre par ces équations augmentées de leiurs diflerentielles. Pour la limite du point commun aux deux droites, les différentielles des équations (i), (2) par rapport à x'^j\ z\ dx\ . . . , seront donc nulles, et il en

résultera cette nouvelle équation

{3){x — a/)d'x''i' (r — r') ^y-h (2 — 3- )d'z'— 3ds'éPs' = o,

Les équations (i), (2), (3 ) donnent le centre de la sphère osculatrice correspondante au point {jc\j\ z') \ et l'on aura les équations du lieu de ces centres , ou de Tarête de rebroussement de la surface polaire, en éliminant x',j^, z^ entre ces trois équations et celles de la courbe donnée ; d'où il résulte deux équations entre x^y^ z.

284. Il est facile de reconnaître, au moyen des équations (1), (2), que tout plan normal à la courbe est tangent à la surface polaire. En effet , considérons sur cette dernière un point quelconque infiniment voisin de celui qui a pour coordonnées x ^ j^ z et qui se trouve dans le plan normal déterminé par l'équation (1). Soient considérés r/x, dj^ dz comme les dinérences de leurs coordonnées : les équations (i), (2) sont satisfaites par les coordonnées du premier point; et elles le seront par celles du deuxième , si Ton considère le plan normal infiniment voisin qui passe par ce deuxième point.

Or, si l'on donne à x , y^ z, x\ j\ z' les accroissements correspondants dx ^ dy^ dz.^ dx\ dy\ dz' dansl'équation (i), il restera, en vertu de l'équation (2),

dxdx* H- dydj' + dzdz' = o.

Mais la droite qui joint les deux points pris sur la surface polaire, et finit par lui être tangente, fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels à r/jr, dy^ dz\ l'équation précédente prouve donc que cette droite est perpendiculaire à la tangente à la courbe au point [x'^y'y z^)^ et que, par conséquent, elle est située dans le plan normal , au même point de cette courbe ,

4oO LIVRE II.

puisqu'elle a déjà le point (j:,/, z) commun avec te plan.

285. Centre de courbure, — Le centre du cercle osculateur, ou le centre de la première courbure , se trouve dans le plan osculateur, et sur la droite polaire du point que Ton considère sur la courbe. On aura donc ses coordonnées en cherchant les valeurs de x^j^ z qui satisfont aux équations

(t — x')r/x' ^{y^y')df -J^ {z ^,z')dz' =0, {x — x')d'x' 4- [y— y') d'y' H- (^ — z') d'z'z^ds'^ {x — x')[dyd'z'— dz'd'y') 4-. {y-^y'){dz'd'x' -^da/d'i')