Contact des courbes à double courbure, — Celte

théorie est semblable à celle que nous avons donnée pour les courbes planes; seulement, au lieu de couper les courbes par des droites parallèles à un axe, il faudra les couper par des plans parallèles à l'un des plans coordonnés , par exemple au plana;, y. Ainsi, lorsque deux courbes auront un point commun x\y\ z' ^ et qu'en les coupant par un plan parallèle au plan x^y Gl situé à une distance infiniment petite dz' du point commun , la distance des deux points ainsi obtenus sur ces courbes sera infiniment petite, de l'ordre ti + ï ? on dira que les courbes ont un contact de l'ordre n. On reconnaît facilement que l'ordre de cette distance infiniment petite est le même pour des plans coordonnés quelconques , pourvu que les tangentes à ces courbes au point commun ne soient pas parallèles au plan sécant. La projection d'une droite sur un plan étant égale au produit de cette droite par le cosinus de son inclinaison sur ce plan , le rapport des longueurs de la droite et de sa projection a une limite flnîe , si la limite de cette droite ne fait pas un angle droit avec le plan. Donc les trois projections orthogonales d'une droite variable de grandeur et de direction sont, en général, des grandeurs du même ordre que cette droite-, et il en est toujours ainsi pour deux de ses projections au moins : il ne peut y avoir qu'une d'entre elles , au plus , qui soit infiniment petite par rapport à cette droite. D'où il suit que, pour que deux courbés à double courbure aient un contact de l'ordre « , il est nécessaire et suffisant que deux de leurs projections aient un contact de cet or^ dre; ce qui ramène à la théorie du contact des courbes planes. Ainsi les conditions pour que ce contact ait Heu au point dont les coordonnées sont x', /', z', consistent en ce que pou,r la valeur z' de z, les quantités

dx dy d'^x d'^ y d^ x d'^y

-^^ dz' Hz' H^' 1^'*'*' "^' IhF' I. 2G

aient les mêmes valeurs d'après les équations de ces deux courbes. Ou obtiendra donc encore la courbe osculatrice d'une espèce donnée , en déterminant les coefficients de ses équations de manière qu'il en résulte le plus de dérivées communes avec la courbe donnée , à partir des premières. Si les projections sur un plan avaient un contact plus élevé que les projections sur un autre, il suit de ce qui précède que le moins élevé des deux exprimerait Tordre du contact des deux courbes proposées.