Droite osculatrice. — Les équations générales

! d'une droite étant

X = az -+- OL , y =z bz -{- tt , les équations qui détermineront a^ a.^ h ^ S seront

les dérivées —, 5 -j-, étant tirées des équations de la courbe donnée. La droite osculatrice a donc pour équations

ce sont celles que nous avons déjà trouvées pour la tangente.

288. Cercle osculateur. — Les équations les plus commodes pour la détermination d'un cercle dans l'espace sont celles d'une sphère et d'un plan. Soient donc les équations générales du cercle

(1) {z^yy-^{y-^y-i-(.z'--oLy = K\

(2) z -h ax-^- b)'-\- c=:o; différentiant deux fois ces équations , en considérant x et y

comme fonctions de -^ , et les autres quantités comme constantes, on aura les équations suivantes :

dz dz

On remettra dans ces six équations , au lieu dex^y^ z^ les coordonnées du point donné de la courbe, et Ton remplacera toutes les dérivées par celles que donneront les équations de cette même courbe. On en déduira les valeurs de six des constantes a , 6, c , a , ê , 7, R , et il en restera une indéterminée, parce qu'on peut faire passer une inHnité de sphères par un même cercle.

Les coefficients a, fc, c sont entièrement déterminés , et l'équation du plan devient, en désignant par x\j\ 5' les coordonnées du point donné ,

(3 2-') [dx' d'y' — df d-'-x') — di! (Vf (x — a:') -+- dz' d^x' ( j — r' ) = o.

Cette équation n'est autre chose que celle du plan osculateur, dans laquelle z est pris pour variable indépendante. Les équations (3 ) , (4 ) 5 dans lesquelles on regardera «,6,7 comme variables, représentent deux plans qui sont perpendiculaires au plan (2), en vertu des équations (5), (6). \^es centres des sphères sont donc sur une perpendiculaire au plan du cercle, et elles couperont toutes ce plan suivant un même cercle, puisqu'elles passeront d'ailleurs par un même point [x\ y\ 2').

4o4 LIVRE II.

U est facile de reconnaitre dans les équations (3), (4) celles qui déterminent la droite polaire relative au point (x\ j^', z^) quand on prend z pour variable indépendante 5 et comme le centre du cercle s'obtiendra en cherchant l'intersection de cette droite avec le plan du cercle, on retrouve, d'après ce nouveau point de vue, tout ce qui avait été déterminé relativement au cercle osculateur, par des considérations différentes.

Contact des surfaces.

289. Lorsque deux surfaces ont un point commun (a:', y\ z')^ et qu'en faisant varier x'^y' de quantités infiniment petites quelconques dx' ^ dy'^ la différence des valeurs de z correspondantes est un infiniment petit de l'ordre n-f-i, on dit que ces. surfaces ont un contact de l'ordre n. L'ordre de cette différence est le même pour toutes les directions qui ne sont pas parallèles aux plans tangents à ces surfaces, au point que l'on considère : il résulte de là que deux surfaces auront un contact du premier ordre , lorsque pour une même valeur de x'y y' on tirera des équations de l'une et de l'autre les mêmes va-

leurs pour z,-,,^.

Elles auront un contact du second ordre lorsqu'elles donneront, en outre, les mêmes valeurs pour les coefficients différentiels partiels du second ordre

d^£ cfV d-'z'

JZr^ ' dYdy''' i//^*

Enfin le contact sera de l'ordre n lorsque tous les coefficients différentiels seront les mêmes jusqu'à cet ordre inclusivement.

La surface osculatrice d'une espèce donnée se déterminera comme les courbes psculatrices , en établissant le plus

grand nombre possible de dérivées .communes entre les fonctions qui expriment la valeur de z dans son équation et celle de l'autre surface que l'on considère.

290. Plan osculateur à une surface, — Soit l'équation générale d'un plan

z z=z ax -^ by -^^ c \ on aura, pour déterminer a, i, c, les équations

z=:ax^bx -^-c, ^, = «, d?"^ '

y-, , ~ étant tirées de l'équation de la surface donnée. L'équation du plan osculateur sera donc

dz . ,. dz' , ..

Ce plan n'est donc autre chose que le plan tangent.

291 . Sphère osculatrice à une surface. — L'équation la plus générale d'une sphère ne renfermant que quatre constantes arbitraires, on ne peut, en général, établir un contact du second ordre entre une sphère et une surface donnée , puisqu'il en résulterait six équations de condition. On ne pourra donc établir, entre ces surfaces , qu'un contact du premier ordre. Il restera une constante indéterminée dans l'équation de la sphère, et l'on pourra en profiter de manière à déterminer un contact du second ordre avec Tune des courbes que l'on peut tracer sur la surface 5 mais ces recherches nous écarteraient de notre objet.