partie se présentera sous la forme - pour m = — i

Cl étant une constante arbitraire; on aura ainsi constamment

Jd^dx r= h C,.

I^ première partie qui devient - quand on fait m = — i ,

a une limite déterminée, égale à \x — la; et si l'on fait Cl — l.a = C, C restant arbitraire , on aura

ce qui s'accorde avec la troisième formule du tableau précédent.

308. Intégration par décomposition. — La différentielle d'une somme de fonctions étant la somme des différentielles de ces fonctions , il s'ensuit qu'on aura l'intégrale générale d'une somme de di fié renli elles, en faisant la somme de leurs intégrales, et y ajoutant une constante arbitraire, si Ton n'en a déjà ajouté dans les intégrations partielles.

On pourra donc intégrer une expression différentielle, si l'on peut la décomposer en plusieurs autres dçnt on connaisse les intégrales. Quelquefois la décomposition n'est employée que pour ramener à des expressions plus simples, que Ton cherche ensuite à intégrer par d'autres procédés.

Le nombre des parties dans lesquelles on décompose la fonction donnée peut être infini ; c'est ce qui arrivejquand on la développe en série : dans ce cas il faudra toujours faire la somme des intégrales des différents termes; mais il y a quelques précautions à prendre relativement à la convergence des séries, et nous reviendrons plus tard sur ce point»

309. Intégration par substitution. — Si Ton a à intégrer ¥ [x) rf.r,etqueron posej:r=(p (z),d'où dx = (f^{z)dzy Texpression donnée devient F [(p (^)] ç' (z) dz ; et la limite de la somme des valeurs de celle-ci sera la même que la limite de la somme des valeurs de F [x) dx , pourvu que les valeurs extrêmes se correspondent dans ces deux sommes. Donc on aura

J\[x)dx=zJ\[^{z)-\^'(z)dz,

pourvu que z^ et z^ soient déterminés par les équations

On conclut de là que l'inlégrale définie 1 F (a:) rte -h C peut être remplacée par

On peut encore s'en assurer en observant que la fonc-« tion , dont la dérivée par rapport à a: est F (a:), doit avoir pour dérivée par rapport à -z,

FM/(e), ou F[ç(»)]f(z).

La question est donc ramenée à trouver une fonction dont la dérivée par rapport à z soit la fonction

La relation x^=^[z) étant arbitraire, on parvient souvent à la déterminer de manière à rendre la seconde intégration plus simple que la première.

Ainsi, par exemple , I F [x -^^ a) dx devient, en po-?

sant X -^ a =y^

4^S LIVKK lîl,

OU, en changeant la lettre j^ en x,

on a donc

f F{x-ha)djcz= I F(x)dj:.

— ^5 on pose x=zay^ d'où

dx = ady^ on a

/' dx i r dr 1 I , ^ ,.

^TT^iirr» = ;; j r:ï7"» = r -^ ^^'^Sr -+- C == - arc tang - 4^

Soit maintenant

) x' H- a- =r j% jrrf-t- = ydy^

on aura

Vo?^ -h û» J Voici encore quelques exemples :

j€'¥{e')dxj e*=yj e'dx^dy^ /e'F(e«)<ir= (lP{y)dr, I cosxï(sinar)dx, sinr=:^, / cosarF(sinr)da:= / F(^)dr