INTÉGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES

'SM, Toute fonction rationnelle dex peut être considérée comme composée d'une partie entière par rapport à :r et d'une fraction dont le numérateur est d'un degré moindre que le dénominateur : il y aura des cas où l'une de ces deux parties seulement existera. La partie entière s'intégranl toujours immédiatement , il ne peuty avoir de difficulté que pour la partie fractionnaire^ et c'est la méthode de décomposition qu'on y appliquera.

F (x) Soit donc -7^ ûîr la différentielle qu'il s'agit d'inté-

grer, F (x) étant d'un degré moindre qaef{x). On cherchera à décomposer -tW en fractions plus simples , ayant

pour dénominateurs les facteurs premiers de f(x) ^ ce qui exige d'abord que l'on cherche les racines de ce polynôme. Supposons-les déterminées, et considérons d'abord le cas où elles seraient toutes inég^es^ désignons-les 2)ar a,i,c,...,/. Soient A,B, C,...,L, des constantes indéterminées, et proposons -nous de satisfaire à Tide ntité

, F(x) ABC- L

ou, en multipliant par/ (x) ,

Toutes ces divisions indiquées dans Je second membre donnent des quotients entiers , et les indéterminées sont en même nombre que les différents ordres de termes , relativement k X : on pourrait donc trouver leurs valeurs en égalant, suivant la méthode ordinaire, les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres. Mais il existe dans le cas actuel un moyen beaucoup plus simple. En effet, si l'on fait a: = a, l'identité subsistera toujours, et tous les termes du second mentbre disparaî-

iront, excepté A » Pour savoir ce qu'il devient, on

pourrait faire d'abord la division par x — a, puis faire jo = a dans le quotient entier. Mais il vaut mieux traiter

la fraction — ^-^ d'après la règle relative aux fractions qui se réduisent à -^ et Ton voit alors qu'elle se réduit

Ainsi rbypothèse or = a réduit l'identité à la formule suivante :

F(«) = A/'(fl), d'où A=^j-,

et comme /' (a) n'est pas nul, puisque a n'est pas une racine multiple, il est toujours possible de déterminer A de manière à ce que l'équation (i) ait lieu pour x = a. On voit de même qu'en prenant

l'équation (i) sera satisfaite para: = hy x = c^,,.^ x= L Il reste à en déduire la preuve de l'identité (i) ; car il est très-important d'observer, en général, qu'il ne suffit pas d'avoir trouvé des valeurs pour les coefficients indéterminés ^ lorsque l'on n a pas prouvé d'avance la possibilité

432 LIVRE tll.

du développement. Or on sait que quand deux fonctions entières de x sont égales pour un nombre de valeurs particulières de X, supérieur au degré du terme le plus élevé, elles sont égales , terme pour terme. Donc les deux membres de Téqualion (i) sont rendus identiques par les valeurs trouvées pour A, B, C,...? L, puisqu'ils sont égaux pour les diverses valeurs a, i, c,..., /, dont le nombre surpasse d'une unité le degré du terme le plus élevé.

342. S'il y avait des racines imaginaires, rien ne serait changé dans les raisonnements précédents. Les constantes qui se rapporteraient à deux racines conjuguées, ne différeraient l'une de l'autre que par le signe de y— i , et les deux fractions seraient de la forme

Si l'on veut faire disparaître les imaginaires , on effectuera la somme de ces deux fractions , qui se réduira à

On agirait de même pour toutes les autres racines imaginaires.