On dësî gne sous ce nom I es expressions de la forme

On peut toujours supposer m et n entiers-, car s'ils étaient fractionnaires, la transformation indiquée dans le numéro précédent ramènerait à une expression semblable où les exposants de la variable seraient entiers. L'exposant^ est fractionnaire; car s'il était entier, on développerait la puissance de a -h ix", et Ton aurait à intégrer un nombre fini de monômes. Les signes de ces trois exposants sont arbitraires -, mais on peut toujours supposer n positif: en effet, s'il était négatif, on pourrait multiplier le binôme a -h bx" par a:~" et ajouter np à l'exposant de af^^ qui pourrait alors devenir fractionnaire, mais que l'on rendrait entier par la transformation déjà indiquée. On peut donc toujours supposer ni et n entiers et n positif.

Nous emploierons d'abord la méthode de substitution, et nous poserons a -+- bx'* =i z , d' où

et , par suite ,

I / z — (l\ ** ^(a -h bx'')Pdx = -j-zP ( — 7 — I dz.

Donc SI est un nombre entier positif ou négatif,

l'expression en z n'aura plus d'irrationnel que 4e mo-

nôme z^^ et on la rendra rationnelle par le procédé indiqué dans le numéro précédent. Si, par exemple, on a

p =:'-9 on posera ^ = i', ce qui revient à faire d'abord

L'intégrabilité de la différentielle proposée est donc

assurée quand est un nombre entier, quelles que

soient d'ailleurs les deux quantités m et «.

325. On peut arriver à un autre cas d'intégrabilité en mettant la différentielle donnée sous la forme

j:^+n/' («j:-" -+- b)P dx.

En effet, si Ton applique la condition qui vient d'être trouvée en général, on trouve qu'on pourra l'intégrer si

est un nombre entier, ou si h p est

entier 5 condition qui pourra quelquefois être remplie quand la première ne le sera pas.

326. On peut appliquer Tinlégration par parties à la même différentielle a:^ (a -f- ftar")^ dx^ en considérant a:""' [a -h hx"") p dx comme une difTérentielle exacte, dont l'intégrale est

nh{p-^r\y On obtiendra ainsi

/*•(«-+- ijf" ) fdx = 1 «:"•-«+» j:«-' ( a -+- hx* )Pdx

= =-; r-^ r-z -î-rr / J*"" (« H- ftoP» ) P+» iIt .

nb{p-{-ï) nb{p-+-i)J ^ ^

Mais

x^^ia H- bx^)P+' = ûx"»-» {a 4- bx^)P H- bx^ (a H- bx^)P ; I. 29

45o LIVEK III.

donc, en subslituant, on aura

Si Ton réduit le dernier terme de cette équation avec l'expression semblable qui se trouve dans le premier membre , on obtiendra la formule

a '■^ b7c^)P dx =1 ^ ^

— \-, ■^^—^- I x"'-" (a + bx")Pdjc,

On est ainsi ramené à intégrer une différentielle du même genre que la première, et qui n'en dilFère qu'en ce que l'exposant m est changé en m — n.

i^. Supposons que m soit positif et plus grand que n. En traitant celte nouvelle différentielle de la même manière que la précédente, on diminuera encore de n l'exposant de xj et en continuant ainsi, Ton sera ramené, après un nombre k d'intégrations, à la différentielle ^«-xti ^^ ^ bx")P dx, et l'on effectuerait immédiatement l'intégration si l'on avait

m — An = n — i , ou = A- -}- i .

Ce procédé conduira donc à l'intégrale cherchée toutes les fois que m -h i sera divisible par n, -C'est le premier cas d'intégrabilité que nous avions reconnu.

2°. Si m était négatif, la formule (i) ramènerait la différentielle proposée à une autre moins simple, puisque l'exposant du facteur monôme y aurait une valeur numériquement plus grande. Mais si l'on tire de cette même équation la valeur de la seconde intégrale en fonction de

la première , on aura une formule qui , dans le cas de l'exposant négatif, ramènera Tinlégration proposée à une plus simple. Si en même temps on change m — n en — m, on aura la formule suivante :

-h bx^y dx z=z -^ ^ ^

bim—np-n^i) f . , ^ .

f ^—7 — ^-—. ^ lx-'^-^''(a'hbaf')Pdx.

Au moyen de cette formule on abaissera l'exposant — m, puisqu'on le ramène à — m -h n^ et que n peut toujours être supposé positif. En continuant ainsi , Ton arrivera à l'exposant — m + kn ; et l'on pourra intégrer si Ton a

m '\- hn z=z n — i , ou = i — • k.

Cette condition ramène encore au premier cas d'intégrabilité.

Lorsque la différentielle ne rentre pas dans ce cas, les formules (i) et (a) ramènent toujours l'exposant m à une valeur positive plus petite que Ji,

Les formules (i) et (2) ne peuvent être employées, la première lorsque Ton a m H- /i;> -f- 1 = o, la seconde lorsque m = I, parce qu'alors l'intégrale cherchée disparaît, et l'équation qui «ubsiste ne peut plus, par conséquent, en donner la valeur. Mais dans chacun de ces cas, l'une des conditions d'intégrabilité est satisfaite , et la différentielle devient rationnelle par la substitution que nous avons faite en premier lieu.

327. La manière dont nous avons fait usage de l'intégration par parties avait pour objet de réduire l'exposant de X en dehors de la parenthèse. Mais on pourrait

452 LIVRE m.

la diriger de manière à réduire Texposant du binôme

En effet, si Ton considère x"'dx comme différentielle, on trouvera

X" « -h bx^)ydx= i ^

npb

— lx^-^''{a-^baf)P-^dx,

Dans cette dernière intégrale on peut abaisser l'exposant m -f- n sans changer l'exposant p — i , par le procédé employé dans le n** 326, et l'on obtiendra ainsi

x^ia-^ ô.r")^ dx = ^^—- '—

m-i-np-^i

m 4- np

^^P i ^f^^ bx^)P-' dx.

Cetie formule deviendrait illusoire dans le cas déjà examiné, où l'on aurait

En appliquant le même calcul à la différentielle

x^[a -t- bx^)P-^ dx ^

on abaissera d'autant d'unités que l'on voudra l'exposant de (a-f- fcx"), dans le cas où p sera positif, et l'on parviendra à un exposant compris entre o et i. Celui du facteur jc"* est resté le même; mais on pourra le réduire ensuite comme on l'a indiqué précédemment : et si la différentielle ne devient pas intégrablc , elle sera du moins simplifiée le plus possible.

Si p est négatif, on tirera de l'équation (3) la valeur de la dernière intégrale, qui se trouvera ramenée à une plus simple. Changeant ;; en — p^ pour expliciter son signe,

puis meltant p au lieu de ;? -H i , on obtient

l \ af" [a -^^ baf^yp dx -^ ^-î- {

)J an[p-^i)

Cette formule ne deviendra illusoire que dans le cas où p = I . Mais alors la différentielle proposée est rationnelle , à moins que m ne soit fractionnaire \ et , dans ce cas 5 on emploierait une transformation déjà indiquée.

Au moyen de la formule (4) ,* l'exposant négatif — p peut être successivement augmenté d'autant d'unités que l'on voudra , et sera ramené à être compris entre o et H- 1 . On pourra ensuite réduire l'exposant de x^ sans changer celui qui afiectera le binôme (a -h ij:").

328. Prenons d'abord pour exemple la diflérentielle , dans laquelle m désigne un nombre entier po-

sitif. Elle est toujours intégrable*, car on a

Donc SI n est pas entier, h ^ le sera. Si on

lui applique la formule (i), ou si on l'intègre directement par parties , on trouvera

/x^dx af^-'^sji — x^ m — i Cx^-^dx s/i — x^" 'w ^ J v^i —X''

L'exposant m étant ainsi abaissé de deux unités , on arrivera, en continuant d'appliquer le même procédé, à

/"S^djc i d /*

-' j , suivant

si \ — x' J sji — x^

que m sera impair ou pair; la première a pour inlégrale — V'i — x' -, et la seconde, arc sino:.

On parvient ainsi à la formule suivante, dans le cas de m impair,

On trouverait, dans le cas de m pair,

/* x"* dx Jï — x*r m— I . (m— i) (m — 3) ..31

^i— a» TO L 'W— '^ (m— 3) (m — 4;.. 2 J

(m— i) (wi — 3). . .3.1 m {m — 2) (m — 4 ) ■ • • ^

Si l'on supposait l'exposant négatif et représenté par — m , la formule de réduction serait la suivante :

/'x-"'dx a;~'"+' y/i — x^ m — a. Cx-^^^ dx

Le seul cas où elle ne puisse être appliquée est celui où

/« = I ; il s'agit alors d'intégrer — — ==. Ou pourra

employer pour cela la transformation relative aux radicaux du second degré , et poser

^i — x''= i -h xz ;

d'où

— X =z HZ -{- xz^ , — dx =: 2,ctz -^ 2xzdz -H s' dx, dx dx 7.dz dx €lz

ï-^2'' jc sli — X' ~" z