Considérons encore la différentielle binôme

. , qui se rencontre dans le calcul des oscillations

\ax — x^

du pendule. On a identiquement

//a?'"-'' l X ]dx x"'dx I \ -2.) a rx'^-^dx

SJax — o;^ J sjax — a:' '^ J \jax — x'

456 Livas III.

Mais, en intégrant par parties, on trouve

dx

== — ar«-»Vax — T'H-(m — i) i x»-* <ir ^ax — x»

sfax — X* «/

/ r , X /^JT^-'Cflx — x')dx

J yjax— X*

substituant dans la première équation, et réduisant, il vient

/' af^dx __ x^-'v^/ix — x' (im — i)a ^Jf^-'àx \Jax — x^ ^ 2 ut j \Jax^x^

L'exposant m étant abaissé d'une unité, si Ton applique le même procédé à la nouvelle différentielle et aux sui-

/dx —===: • On obtiendra ^ax — x'

cette dernière en observant que

dx dx a

ylax — x-" la} [a V \ / /a — 2.r\»'

donc

dx a — 2x ^ = arc cos h C.

^ax — x^ ^

Si m était négatif, la formule ci-dessus, résolue par rapport à l'intégrale qui est dans le second membre, servirait de môme à rabaissement de Texposant jusqu'à zéro.