CHAPITRE VI

INTÉGRATION DES FONCTIONS EXPONENTIELLES, LOGARITHMIQUES, ET CIRCULAIRES.

330. Si Ton sait intégrer la différentielle F [x) clx^ on saura aussi intégrer les suivantes , par une simple substitution :

Y[e*)e'dxy F(Ix) — > F (sinxjcos xr/x, F { CCS j:) sin xdx , F ( aro sin x)

\li—x'

„ , V àx , , . dx

F(arccosx) F (arc tangor)

On voit de même que si F désigne une fonction algébrique, on rendra algébriques les différentielles

F {e*) dxy F (sin^, coso?) dx^ ■ F (sinx, sin2J?, . . ., cosa;, cos2jr,. . .) dx^

en posant respectivement

^ = 2, sinx = z, ou coso: = z.

331. Soit maintenant la différentielle Vz'^dx^ dans laquelle z désigne une fonction transcendante. Si Ton pose

et que Ton puisse obtenir les fonctions désignées par

458 LIVHB III.

Q, R, S, etc., Fintégration par parties fera connaître f¥z"dx. En effet, on aura

/* dz r dz

Qz"-» —dx=: Rz»-' — (/i — i) I Ra»-» — rfx,

et ainsi de suite. Donc

/Pz'»f/a; = Qz" — /îR«"-' 4- « (,2 — i)Sz'»-'

332. Si Ton suppose P = i et que l'on fasse successivement z =z\x^ z = arc sinj:, ou trouvera

f\'*xdx=^ x[\'^x— wl"-» x-i-«(n — i)l'«-ix-« ...zt:a(n— i)... 2. l]4-C,

[^ ^ ny^r-j:' n(n-i)x "l arcsinx (arc sin x)* I . , L |(arcsina:)»-hC.

n(n — i)(/i-2jVi — X* ^ I (arcsiux )' " ' -J

Si l'on suppose P = x^~^ et s == 1 j:, on aura

x"»-' l'»xdx= — |l"x l«-> x-h -^^ — ; — .M'«-»x— .. .rt— -r(

m \^ m nr m* J

Si, dans la première et la dernière de ces trois formules, on pose Ix = z, elles deviennent

y*«"e»dx = e»[s" ~n5»-' -hn(n— i)*»-' — ... in (n — 1). . .2.i]4-C,

/' . e»* r n n(rt— i) . n(n-*- i). ..2.1 1 p

si, dans la seconde, on pose arc sino: = z, d'où

J7 = sin z, dx=. ces zd'z, elle devient

fz"coszdz=: sinz[z'» — /ï(/i — 1) z"-'-H. . .]

+ C0SZ[/2Z"-* AI (« — l) (/2 — 2) Z"-^ -h. . .] -h C.

On peut d'ailleurs obtenir directement ces trois dernières

formules , et eu déduire réciproquemeut les trois premières.

333. Les deux intégrales ^e"^ cosbxdx etfe'^' sinbxdx peuvent se déterminer à la fois , au moyen de l'intégration par parties. En effet, on trouve immédiatement

/' . , e^'cosbx b r . , .

a aj

/. , . e"'sin^^ b r , .

&"s\ti bxdx = Je"' cos bxdx, a aJ

De ces deux équations on tire, pour ces intégrales, les valeurs suivantes :

, . aç.o'Sibx^ — b svabx ef^ cos bxdx = r- e"' -h C,

. , . « sin 6x — b cos bx

e« sm bxdx = ; j- e^' -f- C.

rt' H- b^