Considérons maintenant les différentielles de la forme
Si Ton pose sin x = z^ d'où cosxdx = dz^ on obtient
z"*(i — z^) ^ dz.
Elle rentre ainsi dans les différentielles binômes , et sera
intégrable lorsque sera entier, c'est-à-dire lorsque
m sera un nombre entier impair, ou lorsque « sera un nombre entier impair, ou lorsque m-^n sera un nombre entier pair. On aurait pu poser cosx= z^ et la différentielle serait devenue
d'où Ton aurait tiré les mêmes conséquences.
336. Au lieu d'employer ces transformations , on peut traiter directement la différentielle proposée , au moyen de l'intégration par parties. On trouvera ainsi
,^r. . sin'"+» rcos^-'o: n — i /* .
Or
Jsin '"^' X ces ""•■' xdx = /(sin" x ces ""^ x) ( i — cos ' jc) dx
=fsin * X cos ""■= xdx — fsin " dx cos" xdx ;
substituant et réduisant, il vient ,
^ ^ /*. . -sin"»+' j:co9"-'jc n — I /"*. .
(a) I sin"» j: cos» artf* = 1 I sin» x cos"-* xdx.
Donc, si Aî est positif, cette formule l'abaisse de deux unités , sans changer m ; excepté toutefois le cas où m -+- Al = o , que nous examinerons plus tard.
En supposant que ce cas ne se présente pas jusqu'à la fin du calcul , et en continuant de diminuer Fexposant de cosor, on le ramènera à o ou i s'il est entier.
337. En dirigeant autrement l'intégration parjparties, on abaissera successivement Fexposant de sinx. En elTet, on a
,„./*. , cos"-»-' Jrsin»-«x m — i /* . ^ ,
Or
^sin ""■' X ces "■*•' JCfifa: =^ (sin "•""' x cos " jr) ( i — sin ' x) dlr
= f sin'^^ X cos'* xdx — fsin'^xcos'^xdx.
Substituant dans la précédente, et réduisant , il vient
, ,, r . M sin*»-» X co»"+' X m — I /• .
(4) I sin'»xcos»xtfr= — 1 I sm-* - * x cos" xdx .
^ J TO-hn m-^nj
Si donc on excepte encore le cas de m H- n == o, on abaissera l'exposant de sinx d'un nombre pair quelconque, et, s'il est entier, on parviendra à le réduire à zéro ou à l'unité sans que l'exposant de cosx ait changé. S'ils sont tous deux «entiers, on les réduira successivement l'un et l'autre, autant que possible, sans les rendre négatifs, et il restera à intégrer une des expressions suivantes :
fdxy fcosxdxy fsmxdXf fsinxcosxdx,
que nous considérerons tout à l'heure.
338. Supposons maintenant que m étant positif, n soit négatif et remplacé par — w ; la formule (a) donnera
/'sin^or, , sin"**"' or w + i /*sin'"ar . €tX = ; r I dx.
cos" 0? (m — n) cos"^' x m — n J cos""^'ar
L'exposant des cosx se trouvant élevé de deux unités, on tirera la valeur de l'intégrale qui est dans le second mem-
462 LIVRB ni.
bre, el l'on trouvera , en changeant w-f- 2 en «,
/sm'"x , sin^^+'o: n — w — 2 /^sm^j* dx = ' ^ 1 1 djc.
cos^a; [n — i)cos"~'^ n — i J cos^^^x
Cette formule ne peut être appliquée dans le cas de w = i. Si en même temps m est entier, on l'abaissera au moyen de la formule (4)? et l'on parviendra à
dx cosj:
/sina: , r ( dx, ou I — cosj: J c<
expressions que nous intégrerons tout à l'heure.
339. Si , au contraire , n est positif et m négatif, remplaçons-le par — m dans la formule (4)5 elle devient
/cos".r, , CCS "+'57 wH-i f*cos'*x , -^ *dx =r : — ; 1 I dx.
sin'" .c (w — n) sm*""^' x m — nj sm'""^'a7
L'exposant de sin x étant augmenté de deux unités, on tirera la valeur de l'intégrale du second membre, et l'on aura, en remplaçant m -}- 2 par m,
,/,, rcos"j: , cos ""*"'« m — n — 2 /?cos"a: ,
(O) I -: dx = , r-; 1 I . dx,
J sin'".r {m — i)sm'"~'j? m — 1 J sm'""'^
Cette formule ne peut être appliquée si m = i ; mais alors,
en abaissant l'exposant de coscr, on arrivera, s'il esten-
, ,, , . rcosx J r dx
tier, a 1 une des expressions I -: — dx. ou J -^ — ' ^ J smx J smar
340. Supposons enfin que m et n soient négatifs tous les deux , et remplaçons-les par — m et — w. La formule (2) deviendra
jsm'"xcos"x (m-|-n)sin'»-'a:cos''-»-' X m -h n J sin
' sin"»JCOs"+»x
OU, en tirant la valeur de la seconde intégrale, et chan-
geanl w -f- 2 en /i,
dx
^'^ J sin"»arcos"x ~~ (n— i)sin«-»j:cos''-'x m — i J sin^xcos^-'x
On tirera semblablement de la formule (4)
/dx I m-^ 1 r # sin»»* cos" X (m -|-n) sin"'+' x cos"— * x m-^n J sin'»+»
Tirant de là la valeur de la dernière intégrale, et remplaçant m -h 2 par m, il vient
.^. r dx —j m-^n^^ I* dx
J sin'"xcos''x {m — i)sin'"-*xco8''-"x m -— 1 J sin"~
*XCOS''T
Au moyen des formules (7) et (8) on diminuera du plus grand nombre pair possible les exposants de sin x et cosjc. Il n'y aura d'exception que pour le cas de m = i ou 71 = I, et alors on parvient, en supposant m et n entiers, à l'une des expressions suivantes :
J smx J cosx J SI
dx
sin X ces X
341 . En réunissant les cas particuliers auxquels on est conduit par l'application de ces procédés, on voit que l'on est toujours ramené, quand les exposants sont entiers , à effectuer l'une des intégrations suivantes :
/dx, Icosdx. Isinxdx, / sinx cosxilr, j dx, I — dx. ' J J J J CO8X ' J 8inx
/dx f* dx r dx' /*sîn"»x /^cos^x
sînxcosx' jsinx' jcosx' J cos«x * J sin"» x
Les six premières s'obtiennent immédiatement , et OBt pour valeurs respectives
fdx =zx -{-€, fcosdx z=z sin x 4- C ,
/' /• sin*.r sin^c^x =: — ces a: 4- C, I sin x cosxdx = v- C.
464 LIVBE III.
Dans les deux suivantes le numérateur est la différentielle du dénominateur, abstraction faite du signe. Donc
/sinxdx rcosxdx , . = — I cosa: -h C, / — : = 1 sm j: -4- C. cosx J sina:
On intégrera la suivante -. en divisant ses deux
smj7 cosx
termes par cos'x^ elle devient alors (Le
/* (Le cos'j:
sinx cosj:
'j7 /'rftangx
— = / 2==itangj:4-C.
IX J tangx "
La suivante -: — s'intégrera en divisant ses deux termes sinx ^
par cos' jo:, après avoir remplacé sina: par a sin - cos-;
elle devient alors
tang-
^ = ltang--»-C.
tang-
à cette dernière , en ob-
cosx '
servant que
