INTÉGRATION PAR SÉRIES
345. Lorsqu'on ne peut intégrer exactement une difrentielle F(x)clx^ on peut se proposer de développer son intégrale en séries: et pour cela on développera d'abord la fonction F (x). Soit donc
(i) F(a:) = £/o-f- «,-+- Wj-+- ... -H a„-h.. .,
et admettons que cette série soit convergente, sans quoi elle ne pourrait remplacer aucune fonction.
Soient 5„ la somme des termes jusqu'à u„ inclusivement , et /•„ le reste de la série, qui tend vers zéro à mesure que n augmente. On aura
Intégrons les deux membres de cette équation entre deux valeurs quelconques Xq et X , nous aurons
I F{x)£/x= 1 Sndx -^ 1 r„dx;
et puisque r„ tend vers zéro, j Vndx lend aussi vers zéro ; donc
(2) / F(x)d:ar = liiii / s^dx = j u, «Lr-hl u, dr + ...,
OU , en remplaçant X par x ,
fF (x) dx 2= I Mo rfj? H- . . . .
L'équalion subsistera évidemment en prenant les intégrales indéfinies
f¥{x)dxz=:fu^dx-\'
346. Si la série (i) n était pas convergente, pour la limite X, on pourrait craindre que la formule (2) ne fût inexacte-, mais nous allons voir qu'elle subsiste encore, pourvu qu'elle soit convergente. En effet, elle est démontrée pour toute valeur de x comprise entre x© et X ^ c'està-dire que l'on a pour ces valeurs
px px pjp
I Y {x)dx -=2 I «0 ^-îP -H . • "+- / Undx-\'... y
Jx^ Jx^ Jx^
Or la limite de la somme des termes du second membre est une fonction déterminée de x, puisque la série des in-r tégrales est supposée convergente, même pour la valeur X. Si donc on fait tendre x vers X, les deux membres de Féquation tendront chacun vers une limite, et ces limites ne peuvent être inégales. Donc
XX /» X /* ^ ¥{x)dx=z 1 u^dx -h I Uidx-h
La même démonstration se ferait pour la limite Xo > et même pour toute valeur intermédiaire, pour laquelle la série (i) cesserait d'être convergente, sans que la série des intégrales cessât de l'être.
347. La fonction F (x) peut quelquefois être dévelop* pée de bien des manières différentes en séries convergentes : on choisira celle qui conviendra le mieux à la question. Si on la développe suivant la formule de Mar • claurin , on aura
F(:t) = F(o)4-F(o)x-+-F"(o) — H-.-.-hF^Co)— ^^^-H..., ^ ' ^ ^ ^ ' ^ ^ I . a ^ ' 1 . 2 . . . m
et , par suite,
.(3) rF(:c)rfar===CH-F(o)x4-F'(o)— -hF''(o)--^-+-...-hF"^o) — f^tL + J ^^1.2 ^'1.2. 3 ^ ^ i.2...(m-»-i)
Il est facile de reconnaître que ce second membre n'est autre chose que le développement de /F {x)dXj d'après la formule de Maclaurin : C représente la valeur arbitraire de cette fonction pour x = o.
Si Ton veut connaître l'erreur commise en s' arrêtant
à un terme quelconque F""* (o) > dans la se-
rie (3), il suffira de multiplier -^ ; par la dérivée de Tordre (n-f-i) de la fonction /F (x) ûfr, en donnant à x dans cette dérivée une valeur 6x intermédiaire entre o et x. C'est la règle connue dans le cas de la formule de Maclaurin, dont l'équation (3) est l'application à la fotiction /F (x) dx. Si donc on désigne par h la plus grande valeur de F° (x) quand x passe de o à x , l'erreur commise en s' arrêtant au terme qui renferme x"
sera moindre que -, c
348. On pourrait développer la fonction /F (x) dx par la formule de BernouUi , qui donne pour une fonction quelconque y y
dy x^ d^Y x^ d^Y
^---^'^ dx l.T^dx'^ 1.2.3 dx' "'
Yo étant la valeur de y correspondant à x = 0. Si Ton
suppose
jr = fF(,r)dx, et r.~C, on aura
(4) Jf(^:
^ ' 1.9.^' I . a . 3 ^ On obtiendrait cette même, formule en intégrant par parties la diflércnliclle F (x) dx. En effet, on aura successi-
vement :
/f (a:) rfa? = X F (x) — jxF' {x)dx ,
fxr (a:)dx = ^ r [x) -f^ F" W ^^ ,
r^F"(a:)rfx = -^F''(x)- r-J^F'"(x)c/x.
Si, eu continuant indéfiniment ces intégrations , la dernière intégrale tend vers zéro, on aura, en faisant les substitutions et ajoutant la constante arbitraire,
F(x)rfx=C-+-xF(x) — — F'(x)-h— ^F"(x}-...,
ce qui n'est autre chose que la formule (4).
349. Lorsque la fonction F {x) esl le produit de plusieurs facteurs , on peut se borner à développer l'un d'eux en série, pourvu que les autres facteurs multipliés par les divers termes de cette série donnent des produits inté^ grables.
Soit, par exemple, la différentielle
(Le
\ax — x^ ^i — bx
qui se rencontre dans le calcul du mouvement du pen-
dule. On peut développer (i — bx) * si l'on suppose bx <^\^ abstraction faite des signes , et Ton aura
Substituant ce développement dans la différentielle proposée , on aura à intégrer des termes de la forme
x^dx \ax, — .r'
expression que nous avons intégrée dans la théorie des différentielles binômes.
47^ LIVEE III.
350. L'intégration par séries peut servir à faire connaître les développements des fonctions dont on sait développer les dérivées.
Ainsi , par exemple , la dérivée de arc sin x est .
dont le développement est •
donc
IX* 1 .3 j:* 1 .3.5 j?'
arc sin a? = C H- X -f- - -5- H 7 -= H j—tz h . . . .
Mais il faut remarquer que le radical ayant été pris positivement , on suppose que Tare et le sinus varient dans le même sens. La.formule ne s'applique doiic pas aux arcs
compris entre - et tt , mais elle convient aux arcs com-
TT
pris entre o et H — y elle conviendrait de même aux ares
entre o et • Elle doit, par conséquent , être satisfaite
quand on y fait x = o, et ^ par suite, C doit être nul 5 on a donc
IX* 1 . 3 X* 1 . 3 . 5 x'
arc smx = X -+- - -=: H 7 -^ -+ 7-^ h
Le développement de . n'est plus convergent pour
:r = i; mais, comme la série des intégrales ne cesse pas de l'être, la formule précédente représente arc sin Xj mêm^ lorsque x= i^ On a , pour cette valeur particulière ,
ir II I .3 I I .3.5 I
Mais cette série serait trop peu convergente pour servie à calculer tt.
