I -I- jc

L'arc étant nul avec sa tangente, on aura C = o , et

arc tang x r=. x — tt-H-?- H-...

Si , au contraire , on a a: >• i , on aura , eu ordonnant par rapport aux puissances décroissantes dex,

x'^ H- I .r' x* x^ x* donc

arc tang.r =:C i-^r^ — ^^-i"^ Tl

° x Bjr* Dj:* 7^:'

quementplus grandes que Tunité , on a

La constante est -9 puisque x infini rend le premier membre égal à — Ainsi, pour les valeurs de x numéri-

Il faut remarquer que la première formule donne les arcs positifs depuis o jusqu'à j seulement. La seconde ne con-

vient qu aux arcs compris entre cette limite et - qui est la plus grande valeur du second membre.

474 LIVRE m.

Ces formules sont exactes pour x = i^ parce qu'elles restent convergentes, quoique les séries qui expriment la dérivée ne le soient plus \ elles donnent alors

t: III

352. Cherchons encore de cette manière le développement de 1 (i-f- cr) , dont la dérivée est • Si Ton

suppose :t: <] I , on a

donc

dx ^ x^ a^ X*

Le logarithme de Tunité étant zéro, il faut supposer C = o pour que la formule représente 1 (i-f- a*) , et l'on aura

Celte formule étant convergente pour a: = i , quoique la série qui exprime la dérivée ne le soit plus, elle ne cesse pas d'être exacte pour cette valeur particulière.

Si Ton supposait »r > i, et qu'on ordonnât le développement de par rapport aux puissances décroissantes

de X afin qu'il fût convergent, on ne trouverait plus 1 (i -4- x), mais seulement l(i -H x) — Ix, oui / 1 -f--)-