PASSAGE DES INTÉGRALES INDÉFINIES AUX INTÉGRALES DÉFINIES

353. Nous avons démontré, dans le n° 304, que si la dérivée d'une fonclion quelconque F (x) est continue pour toutes les valeurs de la variable depuis Xf^ jusqu'à x^ la différence F (.r) — F [xq) est la limite de la somme des valeurs que prend F' {x) dx^ lorsque Ton fait passer la variable de x^^ k x^ par degrés infiniment petits représentés par rfx 5 d'où résulte la formule

•(,) r"F'(^)e/x=:F(x)->F(xo).

Ainsi, pour connaître l'intégrale définie de Y' [x) dx entre des limites données, lorsque l'on connaît l'intégrale indéfinie, ou une fonction quelconque F (a:) ayant pour dérivée F' (a:), il suffit de substituer les limites de l'intégrale dans F (.r) , et de retrancher le résultat relatif à la plus petite limite, de celui qui se rapporte à la plu& grande.

Exemples :

r » «tr ^ /"> dx IT /''" dx n / <?-«' cos bxdx =. — — , / e-«' y,,, h^dx = -, — >

4?^ * LIVRB m'.

%08«xsin:»*+irrf:r = . 2. 4.6... 2 A

J^ sji^x*~ 2.4.6...2A -2*

Ces dernières intégrales rentrent dans deux des précéden-

tes en posant x == sîn z ; d'où . = <iz.

L'intégrale indéfinie de '-:^ peut être déterminée

en décomposant en fractions simples l'expression-^;; — » dans laquelle on peut toujours supposer m<^n. D'après cela , si Ton fait =^ a, on pbtiendra

-^jj^^ = - I sina/r 4- sin3a7r H- 8in5«7r 4-. . .H-sin (2n — i)a7r = ^^^r^- — 00 *- -*

On aura encore, en supposant que m et n soient des nombres entiers positifs , tels que irK^n^

'dx

f^ i -h x" . rm:

•" //SUl •

31 maintenant on pose j:" = ^ , — = a , cette équation devient I = -; ? « ayant une valeur commen-

surable quelconque comprise entre o et i, et pouvant avoir aussi , par conséquent , toute valeur incommensurable comprise entre les mêmes limites.

On trouvera encore , d'après une formule précédemment démontrée , en supposant n > i ,

dx i.3.5...(2/ï — 3) TT

11 faut bien remarquer que la formule (i) ne subsisterait plus si la fonction F (a:) devenait infinie entre les limites de Tintégration. Dans ce cas, la somme des éléments F'(x) dx peut être infinie , ou indéterminée. Il faudra donc toujours s'assurer si F [oc) ne devient pas infini dans cet intervalle , et c'est seulement lorsque celte circonstance ne se présentera pas ^ que Ton pourra dire que F (.r) — F(xo) est la limite de la somme des éléments tels que F' [x) dx. Dans le cas contraire, on partage l'intégrale en deux autres ayant pour limite commune la valeur particulière de »r , et l'on examine séparément chacune d'elles.