X-^^ dx —5 la formule (i

donnera — ^-r^ — ^— ^j expression qui est négative, tandis

que tous les éléments sont positifs. Mais -^ devenant in -

fini pour a: = o , il faut s'assurer si l'intégrale ne le devient pas aussi. C'est ce qui arrive, en effet, et la formule (i) suppose que cette circonstance n'arrive pas. Dans le cas actuel , les deux intégrales partielles sont

47^ LIVRK III.

infinies de même signe 5 par conséquent il n'y a pas indétermination , et Tinlégrale demandée est infinie.

/dx — • Si les deux limites

sont négatives , on a une somme d'éléments négatifs, qui seraient les mêmes, au signe près, que si Ton prenait ces limites positives. Ainsi l'on aura

.lfl=l~.

Il n'y aurait de même aucune difficulté pour deux limites positives; mais si elles sont de* signes différents, l'intégrale Ix passant par l'infini, la formule (1) n'est plus démontrée; et il y a cela de remarquable, que la somme des éléments est réellement indéterminée.

C^^dx En effet, soit l'intégrale définie I — \ partageons-

la en deux autres, dont les limites soient — a — ^\j. pour la première et -+- ^v -f- è pour la seconde; e étant une quantité qui tend "vers zéro , et fx , v deux nombres constants arbitraires. La première intégrale aura pour valeur

1—9 et la seconde 1 -7- ; leur somme sera 1 - + 1 — Elle ne a 0 va

renfermera plus s, et, par conséquent, si l'on fait tendre

cette quantité vers zéro , on aura pour la somme des deux

X* dx — î la quantité indé- > ^

terminée 1 — h 1 ^> qui dépend du rapport arbitraire des intervalles infiniment décroissants Cfx, ev. Si on les suppose égaux , 1 - devient 1 i ou zéro , et il reste 1 — C'est ce

que M. Caudiy appelle la valeur principale de l'intégrale indéterminée.

354. Lorsque Von applique rîiilégralion par pai lies à la transformation des intégrales définies , et qu'on donne les mêmes limites aux intégrales, il est facile de voir, eu général , comment doit être déterminée la constante.

En effet , on a

//(;r)rfï(x)=/(x)y(x)-/ç(x]rf/(x).

Si Ton veut que les intégrales soient prises entre les mêmes limites Xq et X, on commencera par les prendre à partir de x^'-, mais alors il est nécessaire d'ajouter une constante arbitraire à l'un des membres, ce qui donne

['/(jo) dff (x) = C^/(x)<f{x)-^ f% (x) d.f[x).

Pour que cette équation ait lieu en faisant x = x^^ il faut que Ton ait C = — /(^o)?('^o)9 et, par conséquent .

355. Si Ton renverse les limites d'une intégrale définie, on ne fait que changer son signe; car les accroissements de X changent de signe, et les valeurs absolues des éléments différentiels ne changent pas. On a donc

r F(ar)«?^ = — / '¥{x)dx,

ce qui s'accorde avec l'expression de l'intégrale définie . au moyen de la fonction ç [x) dont la dérivée est F (x). En effet , on a

1 F(x)</a: = (p(X) — (p(ar«), J = ^(aro) ~ <p (X),

expressions égales er de signes contraires.

48o LIVRB m.