RECTIFICATION DES COURBES

378. D'après ce que nous avons dit dans le premier chapitre du livre III, Taire comprise entre les deux ordonnées relatives aux abscisses j^oetx, peut être représentée en coordonnées rectangulaires par I ydx^ et, en coordonnées

obliques par si nO i ydx^ 6 désignant F angle des axes. L'é-

quation de la courbe donne y en fonction de jc, et la quadrature de la surface en question est ramenée à une intégration. C^est pour cela que Ton désigne souvent par le mot quadrature l'opération du calcul intégral par laquelle on remonte de la différentielle d'une fonction à une seule variable, à cette fonction même.

Si l'aire à calculer était comprise entre deux ordonnées et deux arcs de courbe, Texpression de sa différentielle serait (Y — j) dx, en désignant par Y et ^ les fonctions de x qui représentent l'ordonnée de chacune des deux courbes. Si la nature de l'une ou de l'autre de ces courbes changeait dans l'intervalle compris entre les limites, il faudrait partager cet intervalle en plusieurs autres , dont les limites seraient les diverses valeurs de x où s'opéraient ces changements.

Si la courbe est donnée par une équation entre des coordonnées polaires 9 et r, Faire que Ton cherche à évaluer est celle de la figure comprise entre deux rayons

5o4 LIVRE III.

vecteurs et Tare de la courbe. Sa différentielle est, comme nous Pavons déjà vu, r' — Donc Faire comprise entre les deux rayons correspondants aux angles 60 5 6 aura pour

expression \ l r^ dO^ r désignant la fonction de 6 tirée

de l'équation de la courbe.

Si la surface à évaluer était comprise entre deux rayons vecteurs et deux courbes , sa différentielle serait

r/6 , r et /•' désignant les rayons vecteurs des

deux courbes, relatifs à une même valeur de 9 ^ Taire cher-

chée serait donc exprimée par } / ('* — r'*) Jô, r et /'

étant des fonctions connues de 9 , déduites des équations des deux courbes.

EXEMPLES

Paraboles, — Proposons-nous d'abord de calculer Vaire des paraboles renfermées dans l'équation générale

m et n étant positifs ^ on aura

n 1 1 ' ""^* fjrdx=p"' Cx^dx^^p^'Ç -4- G.

m Si Ton prend Taire à partir de Jc = o, on aura C = o, et Taire terminée à l'ordonnée relative à une valeur quelconque de j;, aura pour expression

/wo"'x'" mxy

r -, OU

f^a partie du rectangle xy qui reste, après avoir retran-

DRS LIMITES DE SOMMES. 5o5

elle celle-ci , cl que Ton trouverait directement en pre-

•nant / xdv est ; donc l'arc de la courbe divise le

rectangle xy dans le rapport constant de min.

Si l'on considère au Heu de l'origine un point (a, 6) de la courbe, les aires comprises entre les ordonnées ou les abscisses de ce point et du premier, seront les différences

de quantités ayant même rapport — -, elles auront donc

aussi ce même rapport entre elles. D'où Ton voit que si Ton projette un arc quelconque de la courbe sur Taxe des X et sur Taxe des j", les aires comprises entre cet arc , les lignes projetantes , et Taxe perpendiculaire, sont entre elles comme les exposants w et n.

Hyperboles, — CiOnsidérons maintenant l'équation générale j'" x" =z a des hyperboles qui ont pour asymptotes les axes des coordonnées 5 on aura

Cydx = a"" ÇoT "' dx =z ""—1^-"^ ^ C,

hi

Soit d'abord n<^n2^ et supposons que Taire commence au point dont les coordonnées sont a, S 5 Taire aura pour expression

ou --^^-^^ '-

On voit que sa valeur est finie pour a = o, quoi qu elle s'étende alors indéfiniment dans le sens des j-, puisque Taxe des y est asymptote de la courbe : mais elle devient infinie en même temps que x.

Ainsi Taire comptée à partir d'une ordonnée arbitraire, et prolongée indéfiniment vers Tune des deux

5o6 LIVRE m.

asymptotes, est finie ou infinie, suivant que la coordonnée comptée sur cette asymptote a le plus grand ou le plus

petit exposant dans Téqualion. En cherchant — I xdj\

on aurait l'aire comprise entre Tare et les abscisses menées par ses extrémités 5 son expression serait ^« Ces

deux aires sont donc encore dans le rapport des exposants m et n.

Si Ton avait n^m^ on arriverait à la même conclusion .

Si Ton avait fn=n^ l'équation serait de la forme xj=p^, et représenterait une hyperbole équilatèn» , puisque les axes sont rectangulaires. On aurait alors

Si l'on voulait que Taire commençât à Taxe des/, on aurait a = o ; ce qui fait voir que l'aire comprise entre une ordonnée quelconque et l'axe des/ est infinie.

Si Ton suppose a=/?, Taire commencera a Tordonnée menée par le sommet de l'hyperbole; et, si Ton prend jw pour unité, son expression sera \x. C'est cette propriété qui a fait donner aux logarithmes népériens le nom de logarithmes hyperboliques.

Réciproques, — Les paraboles et les hyperboles que nous venons de considérer jouissent de cette propriété commune que, si Ton projette un arc quelconque de ces courbes sur les deux axes , les aires comprises entre cet arc et les coordonnées parallèles sont dans un rapport constant. Or il est facile de démontrer qu'elles sont les seules courbes qui en jouissent. En effet , cette condition générale est exprimée par Téquation

n 1 ydx =z±ni I xdy.

DES LIMITES DE SOMMKS. So^

Le signe — du second membre se rapportant au cas où dy et dx sont de signes contraires.

Différentiant les deux membres en considérant le point a , S comme immobile, et a*, y comme seules variables, il vient

dx dy

njr dx = ± mx df, ou n — =r db /w — 7

et intégrant

/2 1 j: = di: /w 1 r H- 1 c,

en désignant par 1 c une constante arbitraire. Celle équation peut se mettre sous la forme

et représente des paraboles ou des hyperboles, suivant qu'on suppose que les coordonnées varient dans le même sens ou en sens contraire.

Ellipse. — Soit Féqualion de Tellipse

a^X^-h b^x^=:a^b\ ou 7 = - V^' "~ •^' î

on aura

Or, en intégrant par parties, on trouve

\ dx Vû' — x-=^ X \(C- — x' + 1 ~T-- -'

Mais

= I i — — - — = — I rfjrVfl*— a:*H-a'arcsin -;

en substituant, il vient

i dx\}^a} — X* = J' sld^ — x'^ + a} arc sin \ dx y/i* — x^^

Réunissant les deux intégrales, que l'on supposera prises à partir de la même limite, et ajoutant une constante arbitraire, il vient, en divisant par 2, puis multipliant

So8

par-,

- \ dx yû' — X* =1 ^ J

bxsJà^'-^x'^ ab . x

— ■■ 1 arc sin - -h C.

Si Ton veut que Taire commence à Taxe des y, on aura

C = o. Si Ton fait ensuite a: = a, on aura -j- pour la

valeur du quart de l'ellipse. L'aire de Tellipse entière est donc itab : elle devient wa*, si fe = a.

bx Kl Cl^ — ~~ x"^ XY

Le terme — -étant équivalent à— mesure le

triangle dont les côtés sont x el y\ par conséquent, le

terme — arc sin - mesure le reste de Taire, c'est-à-dire le

secteur formé par Taxe des j^, Tare de Tellipse et le rayon

mené du centre à l'extrémité de cet arc.

Hyperbole, — Soit maintenant l'équation de Thyper-

bole

û»/' — 6'x= = — û' b% ou / = J V-^' — û' ;

on aura

ï ydKz^z- I dx^x^ — û'.

Et, si Ton suit la même marche que pour l'ellipse, on

trouvera

^ , bxJx^ — a} ab . / /— r» , p,,

yrdx= — 1 (j:-f- yx' — a')4-C;

si Ton veut faire commencer Taire au sommet, son expression devra être nulle pour or = a, d'où C = — lu, et l'aire aura pour valeur

hx sjx^ — a' ab X -h sjx^ -

DES LIMITES DE SOMMES. So^

Le premier terme étant égal à — ^ ? on eu conclut que

ab . X -h sJx^ — «* . 1» • j

— 1 1 est 1 expression du secteur compris

entre Taxe transverse, Tare de Thyperbole et le rayon mené du centre à l'extrémité de cet arc.

Cycloïde. — Considérons maintenant la cycloïde rapportée à son sommet A {fig* g6) ; son équation différentielle sera

Hx y 2fl — j

2a étant le diamètre AB du cercle générateur. L'aire AMP a pour expression

Jf fdxy OU / ^jv'2«r— r'; 0 Jo

elle est donc identique avec Taire AQN relativement au cercle générateur.

L'aire totale ADK est donc égale à la moitié de celle du cercle , ainsi que Taire symétrique CHA ; et, comme le rectangle CHKDC est égal à 4it«*> Taire CADC sera égale à 37ra', ou au triple du cercle générateur.

Quant à Texpresrion de T intégrale

dy^7,ay^X\ on observera qu'elle est identique avec

elle rentre donc dans celle que nous avons calculée dans le cas de Tellipse, en y changeant x en y — a. Ainsi Ton

5lO LIVRE III.

aura

dy y/2«j — jr» = ^- ~ — — + — arc sm*^^ hC

2 2 fl

Sî Tou prend l'îiitégrale à partir dey = o, on aura

el si Ton prend pour seconde limite j^= a a, la valeur de Taire sera

comme nous l'avions déjà reconnu.

Spirale logarithmique. — L'équation de cette courbe est, en coordonnées polaires, r = Ae^^ j l'aire comprise entre deux rayons vecteurs correspondants aux angles 0^ et 0 aura donc pour expression

OU

eji désignant par Tq et r les valeurs extrêmes du rayon vecteur.

Si Ton part de Tq = o , c'est-à-dire si l'on cherche la limite de l'aire comprise entre le rayon fixe r et un autre rayon dont l'extrémité tend vers le pôle , tandis que sa direction tourne indéfiniment autour de ce point asymp-

tote, on trouvera simplement j— Cette aire croît donc

comme le carré du rayon vecteur.

DfiS LIMITES DE SOMMES.

Rectification des courbes,

379. Nous avons démontré que la différentielle d'un arc de courbe plan est sj dx^ -f- dj^ , en supposant les axes rectangulaires : elle sera pour une courbe à double courbure, s dx^ -^ dj^ -^ dz^. Lorsque les axes font entre eux des angles quelconques, on sait quels termes il faut ajouter sous le radical; mais on suppose ordinairement ces angles droits. L'arc dont les extrémités correspondent aux abscisses Xq eix aura donc pour expression, dans le premier cas ,

et , dans le second ,

slàx"^ -H dy - ~h afaV

Si la courbe plane était rapportée à des coordonnées polaires, nous avons vu que la différentielle de- sa longueur aurait pour expression

et sa longueur serait, par conséquent, exprimée par

i ^dr^'hr^dB\

9^ et 9 étant des valeurs extrêmes de l'angle 9.

EXEMPLES

Parabole. — Soit d'abord la parabole ayant pour

équation

ydr y ' = 2 pxy d'où ydjr = pdXf dx = ?

5l2 LIVRE III,

on aura

sfdi' -{- dy^z= dx U i -f---

La longueur de Tare dont les extrémités correspondent à Jq et y aura donc pour expression

Pj,r, ^P

SI Ton veut faire commencer Tare au sommet , on aura

et l'expression de cet arc sera

Ellipse, — L'équation de TelHpse donne

ds=:

nu sU

dy dx~

./:.iA'-~

•Vor'

s/dx'-hdy^=z

en désigna

ï« — A* par ae.

L'abscj

5se X

étant loujoun

i moindre

que a,

on

peut

poser

xz=a sin y,

d'où

dx z=za co%ffd(f^ ds = ad'<j) y^i — e^ sin'ç.

Pour intégrer cette expression, on développera le radical en série, ce qui est pennis, puisque le second terme est plus petit que le premier. On aura ainsi

/ t • « xï 1*1 ïï A . 1 1.1.3... (2m — 3) , . ,^^

DES LIMITES DE SOMMES. 5l3

et, par suite,

= a|^î;~ie« JsinV*^ -'^^\f ^^^'f^f —..- ' l '^^'q!"'^^^ e*'- Jsin^'-^d^ -...j.

Celle série sera d'aulant plus convergente que Texcenlricilé e sera plus pclite. Si l'on intègre à partir de (p = o, on aura

^. , COSof. 3TO--I . , (2m— l)(2TO — 3)... 3 . 1

^ ^ 2WI L ^ im ^ (2/îi — 2)(2m--4)- • -2 J

et 5 si Ton prend pour seconde limite y = -5 on aura pour l'expression du quart du périmètre de l'ellipse.

Si e = o, l'ellipse devient le cercle donl le rayon est a ,

et l'expression précédente se réduit à — > qui est, en

effet, le quart de la circonférence.

Hyperbole, — L'équation de l'hyperbole

a^y^ ^ h^x"" = — a' b\ donne

dy b^x

— as

dx a}y en posant

Les valeurs de x étant toujours plus grandes que a, on posera

X = 9 et 1 on aura

ces Y

d<if / cos*(p cos^yV e'

5l4 LIVRB III.

Si Fou développe en série le radical , et qu'on intègre à partir de (p = o qui correspond kx = a^on aura

J^^ .^y r ' ^^^' ^ ' • ' ^** ^ i.i.3...(3m — 3)co8*"9) 1

^ cos*pL ^ c" 3.4 e* "• 3.4.6. ..3m ê» "j'

d'où f-.i.#tang9,---^j^ <«f 1^,^ ^. -+-^^g. ^, ■<^--^- ,.4.6. ..3m c.«-. -^-J

Lorsque a: croît indéfiniment, 9 tend vers -j et 5 croît

sans limite. Mais si l'on cherche la différence entre Tare et la partie de l'asymptote comprise entre le centre et le point correspondant de l'abscisse de l'extrémité de l'arc , cette différence tend vers une limite dont il est facile d'obtenir l'expression. En effet, cetle partie de l'asymptote est ésale à ; et , si Ton en retranche s , il reste

° cosç ' '

«tf(i — siny )

ao a C^ j pLicos*» T.i.3eo8^o T

cosy

Si l'on passe â la limite 9 = -9 il vient

i7L'"^2(27) ^3(2.47») "^^Vï^fevO "^ ••]•

380. Cycïoïde. — L'équation de la cycloïde rapportée à son sommet est

d'où

dsz=idy\J

dx y 7,a — j'

donc

DES LIMITES DE SOMMES. 5l5

et si l'on fait commencer Tare au sommet, on anra C = o et s= n ^2,ay,

Si l'on fait j^= aa, on aura la moitié du périmètre de la cycloïde, qui sera égale h ^a. Pour une valeur quelconque de y^ s est double de la longueur de la tangente.

C'est à quoi Ton était déjà parvenu par la théorie des développées.

Spirale logarithmique. — L'équation polaire de cette courbe est

r = ke*"^, d'où ^/r =i A ae^^d^ ;

ds = sjdr" -f. r»rfÔ» = A sj i -^^ a\ c^'^dQ. Donc

,^j,{l±le^e^ç.^,s/i±a^

Si l'arc commence au pôle, qui est asymptote de la

courbe , on aura

C = o et j = r

Cette expression est celle de la longueur de la tangente menée à l'extrémité de l'arc, et terminée à la perpendiculaire au rayon vecteur mené par le pôle. Ce résultat avait déjà été obtenu par la théorie des développées.

381. Supposons maintenant les points déterminés par trois coordonnés polaires. Soient 0 l'angle formé par le rayon vecteur r avec l'axe des z , et ip l'angle formé par sa projection sur le plan XY avec l'axe des x. Toute courbe sera déterminée par deux équations entre r, ^|;, 0. Les équations qui déterminent généralement x^ y^ z en fonctions de r, 6, tj/, feront connaître dx^ dy. dz^ au moyen de r, 6, ip, fi?r, é/9, d^ ; et en les substituant dans ^dx^ -f- dy^ -f- dz^^ on aura l'expression de la di£Féren-

5l6 LIVRE III.

lielle de l'arc en coordonnées polaires. Mais on peut y arriver direcleinent de la manière suivante :

Si l'on conçoit une sphère décrite du pôle comme centre avec le rayon r, elle coupe le rayon r-h dr en un point qui, joint à l'extrémité de r par un arc de grand cercle, détermine un triangle rectangle infiniment petit, dont ds est l'hypoténuse et dr un des côtés de l'angle droit. Pour déterminer le troisième côté, on mènera par Taxe des z deux plans contenant respectivement les deux rayons , et qui comprendront entre eux l'angle d^ ^ puis , par Tune des extrémités de ce troisième côté, on mènera un plan parallèle à XY : le côté cherché sera l'hypoténuse d'un triangle rectangle tracé sur la sphère, et dont les deux côtés de l'angle droit seront respectivement r sin Od^ et rdô. On aura donc •

€ls = )fdr^ H- rWG' -h r» s\n''^d^^ ;

et pour avoir s , il suffira d'exprimer deux des variables en fonction de la troisième d'après les équations de la courbe, et d'intégrer entre les limites demandées.

DES LIMITES OK SOMMES. Si']