CUBATURE DES SOLIDES ET QUADRATURE DES SURFACES * COURBES
Cuhature des solides de réi^olution.
382. Considérons maintenant le solide formé par la révolution d'une surface plane autour d'un axe situé dans son plan, et que nous prendrons pour axe des x. L'équation de la courbe qui termine celte surface est donnée entre deux coordonnées x^ y^ situées dans le plan YAX , où se trouve primitivement cette courbe. Cela posé, nous nous proposons d'évaluer le volume compris entre deux plans perpendiculaires à l'axe de rotation, et qui est engendré par la partie MNM'N' de la surface [Jig. 97) comprise entre les deux ordonnées arbitraires MP, NQ. Pour cela , nous chercherons l'expression de la différentielle de ce volume , que l'on peut considérer comme Tacçroissement infiniment petit que prend le volume V lorsque la variable x dont il est fonction prend Taccroissèment dx. Soit QR = dx^ d\ sera considéré comme le volume engendré par la surface NKN'K'. Mais, si par les points N,N' on mène des parallèles à AX, on remplacera NKN'K' par un rectangle qui engendrera un volume, dont le rapport avec l'accroissement exact du volume aura pour limite l'unité 5 ce que l'on démontre comme pour les aires. Mais le volume qu'engendre ce rectangle a pour mesure Tt (j^ — j'®) dx, y et j' étant les ordonnées NQ, iN'Q; donc le volume V, compris entre deux
5l8 LIVRE III.
plans correspondants aux abscisses oTo, a:, a pour expres-
sion
Si l'on veut avoir le volume total , il faudra prendre pour limites de cette intégrale la plus petite et la plus grande des valeurs des x auxquelles correspondent des points de la surface donnée.
EXEMPLES
Ellipsoïde. — Supposons que la surface génératrice soit celle d'une ellipse tournant autour d'un de ses axes, son équation sera
et Ton aura
Si le volume doit commencer au sommet , on a C = o et Y^—(a.^^^y
On aura le volume entier de l'ellipsoïde en faisant a:= aa^ ce qui donne
il devient ^-TT a* si i =? a^ ce qui réduit l'ellipsoïde à la
splière dont le rayon est a^
Il est à remarquer que la différentielle dYy ne renfermant pas de radicaux, ne devient pas imaginaire en dehors des limites o et + aaj elle ne fait que changer de signe, et est égale, au signe près, à celle du volume en-
BBS LIM1TKS DB SOMMB». SlQ
geadré par l'hyperbole, dont réquation serait
r* = — (x* — 'lax),
Il résulte de là que, si dans l'expression de V on donne à la seconde limite x une valeur négative , on obtiendra le volume de rhyperboloïde, depuis cette valeur de x jusqu'à X = o; que, si l'on donne à x une valeur positive plus petite que 2a, on aura le volume de l'ellipsoïde depuis a: = o jusqu'à cette seconde limite; et qu'enfin, si l'on donne à x une valeur positive plus grande que aa, on obtiendra le volume entier de l'ellipsoïde, diminuée du volume de l'hyperboloïde compris entre x = aa et la seconde limite.
Donc , si l'on veut trouver la valeur qu'il convient de donner à x pour que V soit égal à un volume donné , ou que r ellipsoïde soit partagé dans un rapport donné , on trouvera trois valeurs réelles : l'une négative, l'autre positive et plus petite que 2r/, et la troisième positive et plus grande que ia. Mais la seconde seule satisfait à la condition de partager Tellipsoïde dans le rapport demandé, ou de manière à ce que V ait une valeur donnée, pourvu
qu'elle soit moindre que ^Tra'i.
Tore, — Ce solide est engendré par la révolution d'un cercle autour d'une droite située dans son plan. Soit Vé* quation de ce cercle
(jr-6)'4-(u:-«)'=R% ou
La diflércntiellc du volume est {fig. 98)
rr (mP — M^p)d:r,
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Ou
. ou encore
Or MM' dx est la diflTérentîelle de Taire du cercle générateur. Donc le volume engendré par la partie du cercle comprise entre deux ordonnées quelconques est égal a cette aire multipliée par 27rê , c'est-à-dire par la circonférence décrite par le centre du cercle.
Si l'on veut avoir le volume entier du solide, il faut multiplier l'aire du cercle par la circonférence décrite par son centre, ce qui donne 27r*6R*.
On trouverait le même résultat en intégrant la différentielle dx \/R* — {x — (x)^ que nous avons déjà trouvée dans la quadrature de l'ellipse et du cercle.
Quadrature des sut faces de ré^^lutiofi .
383. Nous avons appelé aire d^une surface courbe la limite de l'aire d'un polyèdre inscrit ou circonscrit à ceUe surface, et dont les faces infiniment petites ont pour limites de leurs directions les plans tangents aux différents points de cette surface.
Nous en avons conclu qu'on peut, au lieu des éléments plans qui composent la surface du polyèdre , considérer des surfaces courbes dont les plans tangents aient pour limites ceux de la surface proposée. On pourra donc regarder la surface engendrée par la révolution d'un arc de courbe plane, tournant autour d'un axe situé dans son plan, comme la limite de la somme des troncs de cônes infiniment petits , engendrés par les côtes d'un polygone inscrit dans cette courbe. Si l'on désigne par y eiy -h dj les ordonnées des deux points extrêmes d'un quelconque de ces côtés ayant pour longueur ds^ la surface du tronc
de cône qu'il engendre aura pour mesure
^irly-^ 1^-^) ou 2,7eyds,
en négligeant rinfiniment petit du second ordre.
L'aire engendrée par Tare dont les points extrêmes ont pour abscisses x^ et x aura donc pour expression
2Tr I ydsy ou '2n l y ^Jdx^ -Jr dy^-
EXEMPLES
EUipsoïdc, — Supposons que Tcllipse dont l'équation est
tourne autour de Taxe des x ; elle engendrera une surface dont la différentielle sera
2îr 6
dx sja^ — (^^ — ^*) '^' i*
Supposons d'abord a > i et posons
Taire, commençant à a: = o, aura pour expression
T.'Kbe f^ , ^ lâ' " -kjzbeV ^ ITir- ^ a' . ex~\
1 dxK/ a:*= \xK/ x'-h~arcsm — i.
11 nefaut pas ajouter de constante, puisque l'aire est nulle pour X = o. On aura Ja moitié de la surface de l'ellipsoïde en faisante = r/ , ce qui donne, pour la surface entière ,
. iTtba .
2 TT b^ -i arc sin c.
Si c = o, a =z Ij ^ et rellipsoïdc devirijt une sphère ^
522 lIyrs ni.
eomme d'ailleurs tend vers runité à mesur« que
e tend vers zéro, on aura ^i:à^ pour la surface de la sphère dont le rayon est a.
Supposons , en second lieu j a<^b et posons
l'expression de Taire , à partir de a: = o, sera
i^X V^'"^ ^^ 'Vâ^-^'^â^* ( — ^-^ —
Si Ton fait a: = a, on aura la moitié de la surface de l'ellipsoïde , et la surface entière aura pour expression
2nbi/a^'\- b^e^ H 1 •
On retrouve encore la surface de la sphère , quand on suppose e = o. En effet, la première partie devient aTra*^ pour obtenir la seconde , on développera ^a* + b^ e* en série, ce qui est permis, puisque i'e' tendant vers zéro est plus petit que a* , et Ton trouvera encore 27ra* ; ^e qui donnera 4^«* pour l'aire totale de la sphère.
Surface du tore. — Supposons qu'on fasse tourner autour de l'axe des x le cercle dont Féquation est
la partie supérieure engendrera une surface dont la différentielle sera
2it [6 -h V'R* — (x — a)'] ds.
La différentielle de Faire engendrée par la partie inférieure sera
2 7r [(5 — v^R» — (i"^"^)''] ds.
DXS LIMITXS DK SOMMES. 5^3
Si on les suppose comprises entre les deux mêmes plans perpendiculaires à Taxe ^ x et ds seront les mêmes , et la somme des deux différentielles sera 4'^SdSy dont l'intégrale est 4'^Ss -h C.
On aura la surface entière en prenant s égal à la demicirconférence ttR, et C = o ; ce qui donnera
47r*6R, ou 27rR27r6.
La surface du solide entier est donc égale au produit de la circonférence génératrice parla circonférence décrite par son centre.
On peut calculer séparément la surface engendrée par la partie supérieure , et par la partie inférieure de la circonférence. En effet, la première est
2ir [gj -hfds ^R»^(x— a)'j = 27r (6^ -^fSidx)
= 27r(6j + Ra:4-C).
Pour avoir la partie supérieure tout entière, il faut prendre pour X les limites a — R , a -h R , et donner à ^ la valeur ttR; ce qui donne
27r»gR-+-47rR>.
Dans le calcul de la partie inférieure , il n'y aura quele second terme à changer de signe, et Ton trouvera
27r'6R — 4wR». - Leur somme est 4^^' 6R , comme nous l'avions déjà trouvé.. Leur différence est SttR*, ou le double de la surface de U sphère dont le rayon est R.
U est remarquable que cette différence soit indépendante de la distance du cercle à l'axe de rotation ; et cela tient à la symétrie de la courbe par rapport à une parallèlcv à l'axe. Dans le cas général où cette condition sera remplie , la différence des surfaces engendrées par les deux parties de la courbe sera encore indépendante de la dis-tance à l'axe de rotation.
Volume des corps terminés par des surfaces quelconques.
384. Si Ton partage un corps en éléments infiniment petits par des plans perpendiculaires à l'un des axes des coordonnées rectangulaires, nous avons vu qu'on pourra substituer à ces éléments , des cylindres ayant pour bases les sections faites par ces plans, et pour hauteurs les distances de ces mêmes plans 5 parce que la limite du rapport de ces cylindres aux éléments du corps est Tunité.
Donc, si Ton peut obtenir en fonction de a: l'expression de l'aire de la section faite dans le corps par un plan quelconque perpendiculaire à l'axe des X, la différentielle du volume sera F [x) dx , en désignant par F (x) l'aire de la section ; et le volume du corps compris entre deux plans perpendiculaires à l'axe des x^ et correspondants aux abscisses x^^ x^ aura pour expression
f "^F (x\dx. Le problème sera donc ramené à l'intégia-
tion d'une fonction connue d'une seule variable. Si Ton ne peut exprimer immédiatement l'aire de la section , on en obtiendra la valeur au moyen d'unô première intégration. Représentons par z et z' les ordonnées de la partie supérieure et de la partie inférieure de la surface. Ce sont des fonctions données de x et j^, qui pourront être de nature différente. L'aire de la section correspondante à une valeur quelconque de x aura pour expression J[z — z') dj, y variant seul et x restant constant dans les fonctions ;: et z . Les limites de cette intégrale seront les valeurs der correspondantes aux points extrêmes de Ja section ; ces points seront , en général , ceux où la tangent* h la courbe est parallèle à l'axe des z\ et si l'on considère l'ensemble de toutes les sections , ces points se projettent sur le
plan XY suivant la trace du cylindre circonscrit au corpvS, et ayant ses arêtes parallèles à Taxe des z. Ces valeurs dej^ qui sont les limites de cette première intégrale sont donc des fonctions connues de x ^ et , par conséquent , f{z — ^^) dy sera une fonction de a?, que nous supposerons que l'on puisse former, et que nous représenterons par F (x), La question est alors ramenée au premier cas, et il suffira de calculer /F (x) dx^ entre les deux limites données pour x. Ces deux intégrations successives s'expriment de la manière suivante :
r»et j^ désignent les deux fonctions de x qui expriment les ordonnées de la trace sur XY, du cylind/e circonscrit au solide, et ayant ses arêtes parallèles à Taxe des ij.
Ce calcul n'exige donc que deux intégrations de fonctions d'une seule variable.
On peut remarquer que ce procédé revient à calci^ler la somme des expressions de la forme {z — z')dydx^ quand on donne à x et j" toutes les valeurs comprises dans la projection du solide sur XY et variant par intervalles infiniment petits dx^ dy. Cette expression est la mesure du parallélipipède ayant pour base dxdy et pour hauteur z — -z'; et ce volume peut être substitué à l'élément du solide qui est compris entre les quatre faces latérales de ce parallélipipède , parce que la limite de leur rapport est l'unité. La somme de ces éléments compris entre les deux plans dont la dislance est dx^ sera exprimée par
dx i {z-^z')dx.
el la somme de ces dernières expressions , relatives à toutes les valeurs de dx^ sera la somme de tous les cléments {z — 2') dxdy du solide*
526 LIVRX III.
385. Déterminons maintenant Féquation de la trace du cylindre circonscrit au corps et parallèle à Taxe des .zr.
Soit F (^îj^" , -e) = o l'équation de la surface du corps; le plan tangent au point (a/, j', -z') aura pour équation
En un point quelconque de la courbe de contact du cylindre et de la surface donnée , le plan tangent est parallèle à
l'axe des z , et, par conséquent, — , = o ; les équations de
celte courbe seront donc
Si on élimine z entre ces équations, on aura sa projection sur XY, qui est la courbe demandée. Supposons que son équation soit ç ( j?, j) = o, les valeurs dej^ qu'on en tirera seront les limites de l'intégrale prise par rapport àj. Quant aux limites x^^ a:, ce sont deux valeurs arbitraires. Si l'on veut avoir le volume entier du corps, ces limites correspondront aux points extrêmes de la trace du cylindre, et s'obtiendront en cherchant les points de cette courbe où la tangente est parallèle à l'axe des j^ , ou encore les points de la surface où le plan tangent est perpendiculaire à l'axe des x\ ils seront déterminés par les trois équations
Si l'on avait pour objet de trouver le volume du corps, qui se trouve renfermé dans l'intérieur du cylindre, ayant ses arêtes parallèles à l'axe des z et une base donnée par son équation sur le plan XY, les limites de l'intégration par rapport à y seraient les fonctions de x que
DES UMITIS DX SOMMBS. 52^
l'on irouYcrait en résolvant cette équation par rapport
EXEMPLE
Ellipsoïde. — L'équation de l'ellipsoïde rapporté à ses axes est «
La section par un plan perpendiculaire i Taxe des x est une ellipse ayant pour équation
X désignant la distance de ce plan k l'origine, constante pour une même section, et variable d'une section à une autre. On peut calculer l'aire de la section au moyen de la formule que nous avons donnée pour la quadrature de l'ellipse.
Les demi-axes étant , dans ce cas ,
l'aire de la section sera
ce sera la valeur de l'intégrale
Reste donc à int^rer
ce qui donne
bc(.-^^-,.,+^y
Si Ton fait Xo = — « , a* = a , on aura le volume entier de rdlipsoïde, et son expression sera ^itabc. ^ On voit que le volume de V ellipsoïde est les deux fiers du cylindre droit circonscrit^ ayant ses arêtes parallèles à Tun quelconque des axes.
Si les axes ne sont pas rectangulaires , les calculs ne difl'éreront que par des facteurs constants. Soient X l'angle de Taxe des z avec Taxe des^, et fz Fangle de Taxe des* a: avec le plan YZ. La section faite par un plan parallèle à YZ aura pour expression
r ( z — z')dx sin À ,
et le volume compris entre ce plan et le plan infinimeiu voisin sera
ûni^dx j (z — z')df sin \.
Le volume cherché sera donc exprimé par sin fx sin ^ I dx j (z — z') dy.
Dans le cas de Tellipsoïde rapporté à des diamètres conjugués 2 a', 2^', 2c', on trouvera | izalV d sin ^ sin \,
Cette expression devant être égale à -ttûJc, il en résulte a'Vd sin fx sin X = abc ^ ce qui montre que le parallélipipède construit sur les diamètres conjugués est constant. On voit encore que le volume de rellipsoïde est les deux tiers de celui du cylindre circonscrit, ayant ses arêtes parallèles à un diamètre quelconque , et ses bases parallèles au plan conjugué de ce diamètre. Ce qui prouve que tous les cylindres circonscrits de cette manière à rdlipsoïde sont équivale n ts .
