Si l'équalion de la surface qui termine le corps

DES LIMITES D£ SUMMIëS. 5iq

est donnée en coordonnées polaires r, ô, ij;, il est convenable d'exprimer la différentielle du volume dans le même système. Pour cela on concevra une sphère décrite du pôle conime centre avec l'unité pour rayon ^ et l'on partagera sa surface par des grands cercles infiniment rapprochés dont les plans passent par l'axe AZ, et par des petits cercles dont les plans soient parallèles à XY , et à des distances infiniment petites les uns des autres. L'ex^pression générale des quadrilatères qui composeront la surface de la sphère sera sin 6 dOd^. On concevra ensuite un cône ayant son sommet au pôle et ce quadrilatère pour base, et l'on cherchera le volume du corps , qui se trouve compris dans ce cône indéfini. La partie de ce volume comprise entre deux sphères ayant pour rayon ret r-f-rfr, aura pour mesure

r'sin ^drdBd'^.

Si donc on intègre cette expression par rapport à r entre les deux valeurs /o et r, relatives aux deux surfaces qui terminent le corps , on aura le volume du corps compris dans le cône que Ton a considéré. Sa valeur est

l(r»-^r;)sinÔ^Ôrf>l/;

/• et To sont des fonctions connues de 6 et ip. Si maintenant on intègre par rapport à 6 entre les deux valeurs relatives aux limites du corps , et qui sont des fonctions connue$ de ij/ , on aura

^ f (^-r;)smOflro.

^ Je,

Le résultat de cette intégration sera une fonction de t|;, que l'on intégrera entre les deux valeurs relatives aux plans entre lesquels le corps est renfermé.

Si le pèle est dans l'intérieur du, corps, les limites de 6 sont o et TT ^ celles de 4» sont o et 2 7r ; et la première limite L 34

53o XIVRE III.

de p est zéro. Le volume est alors exprimé par

Vo Jo

r^ s\u9dQd'^.

Quadrature des surfaces courbes quelconques.

387. D'après ce que nous avons dit sur le sens qu'il fallait attacher à Taire des surfaces courbes , si nous divisons une surface quelconque par des plans infiniment voisins, perpendiculaires, les uns à Taxe des a?, les autres à Taxe des y, chacun des quadrilatères qui composeront la surface , et dont la projection sur XY sera dxdy, pourra être remplacé par la partie du plan tangent en un quelconque des points de }a surface de ce quadrilatère , qui aura la même projection dxdy.

Nous supposerons que ce plan tangent soit mené au point de la surface qui se projette en un des sommets du quadrilatère dxdf^ et nous choisirons celui dont Vx est le plus petit, ainsi que Vy^ de sorte que ces coordonnées étant X , j, celles du sommet opposé soient x-h dx^j -hdy. Cela posé, Faire d'une surface plane étant égale à sa projection orthogonale, divisée par le cosinus de l'angle de son plan avec le plan de projection , on aura , en désignant par s Paire de la surface courbe,

* - ^l^dy y/, + (^y + {^'=da:dysl

— - , ——, OU P , ûf étant les dérivées partielles de la fonction dx dy ' ' ^

de :r et y qui représente l'ordonnée delà surface.

Ainsi , pour obtenir la surface qui se projettera sur le plan XY dans l'intérieur d'une courbe, donnée par l'équation y (j:,j^) = o, on cherchera d'abord la partie comprise entre deux plans perpendiculaires à Taxe des x, et

distants Tun de Fautre de la quantité infiniment petite dx. Pour cela on intégrera par rapiport à y^ en considérant x

comme constant, Fexpressiou //rrf^ \/i 4- /?* -f- y' , les limites de celte intégrale seront les valeurs àej données par l'équation <p (^v/) = o. Désignons ces deux fonctions de X par j"o ,jKi. L'aire comprise entre les deux plans sera donc une fonction de x exprimée par

Si maintenant on intègre cette expression par rapport à jc, entre les deux valeurs relatives aux limites de la courbe ^ (x,y) :^ o et qui satisferont à l'équation

on aura un résultat qui ne renfermera plus ni ;rni ;^, et sera la mesure de l'aire demandée.

Si Ton veut avoir la surface entière d'un corps fini , il suffira de prendre pour l'équation ^ (jp, y) = o, celle de la courbe dans l'intérieur de laquelle se projette le corps, et de considérer, successivement ou en même temps, la partie inférieure et la partie supérieure de la surface. Cette courbe se déterminera, comme nous l'avons indiqué, dans la mesure des volumes.