hl) 1.2. . .(/2 -hl)(/ï

Donc la somme des termes qu'on néglige dans la proposée est inférieure à la limite de la somme des termes de cette

progression , qui est

1 . 2 . . . /ï ( /î -f- I )' C'est donc là une' limite de Terreur commise en s'arré-

tant a

On pourrait prendre, à plus forte raison, comme limite , l'expression plus simple

dont la valeur est plus grande que la première.

Cette série est d'un grand usage dans l'analyse , et Ton désigne ordinairement sa limite par la lettre e.

Il est &cile de démontrer que sa valeur est incommensurable.

En effet, supposons qu'elle soit commensurable; comme elle n'est pas entière, elle sera représentée par une expression fractionnaire irréductible-» a étant *>i; on aurait ainsi Tégalité

p II I

En multipliant les deux membres par i . 2 .3 ...</, on aurait 1.2. ..(çf — 1)^=1. 2... 9-1-2. ..y-f-S... 74-. ..I

Or la limite de la somme des termes fractionnaires du second membre est plus petite que l'unité , puisque ces termes sont inférieurs à ceux de la progression géométrique

9 + 1 {q-^iy

dont la limite est - 9 et , par conséquent, plus petite que

l'unité. Donc la limite du second membre de la dernière équation ne serait pas égale au premier ; ce qui est absurde. Il résulte de là que la limite de la série proposée ne pouvait être égalée à un nombre commensurable. Cette

limite est donc incommensurable , comme nous voulions le démontrer.

8. La quantité que nouç avons désignée par e peut être considérée comme la limite d'une autre expression remarquable que nous allons faire connaître.

Désignons par m un nombre entier positif croissant indéfiniment, et considérons l'expression

qui se présente sous la forme indéterminée i ^ , quand on y fait m infini. Pour déterminer la limite vers laquelle elle tend, quand m croît indéfiniment^ développons-la suivant la formule ordinaire du binôme; nous aurons