IH

Tous les termes du second membre sont positifs, et leur nombre est fini et égal à w -f- 1 . On peut mettre cette équation sous la forme

On voit d'abord qu'un terme quelconque, de rang déterminé et invariable, augmente en même temps que m\ et comme le nombre total des termes augmente aussi, leur somme augmente constamment. D*où il suit que

I I H j augmente en même temps que m .

On reconnaît encore que les numérateurs des termes qui forment le second membre de Téquation (i), étant moindres que Funité, ces termes sont au-dessous des correspondants de la série

(2) iH 1 h

dont la limite est e. D'où J'on conclut déjà que ( iH 1

est toujours moindre que e ; mais nous allons démontrer qu il s'en approche indéfiniment.

En effet, le terme qui en a n avant liiî dans le développement (i) tend indéfiniment vers à mesure

que m croit. Donc la somme des n-+- 1 premiers termes de ce développement peut différer aussi peu qu'on voudra de la somme 5„ des correspondants de la série (2), quelque grand que soit le nombre déterminé n. Maïs la différence entre 5„ et e peut devenir moindre que toute quantité donnée 5 donc il en est de même de celle qui existe entre e et la somme des n -f- 1 premiers termes du développement (1), et, à plus forte raison, de la différence qui existe entre e et le développement (i) tout entier, ou

(iH 1 • Donc enfin (iH — ) tend vers la limite e m) \ ml

lorsque m croît indéfiniment, en restant toujours entier. Considérons maintenant des valeurs positives, non entières pour m. Faisons m = fx -f- e , e étant une quantité positive moindre que l'unité, et fx un nombre entier. L'expression ( iH 1 devient ( i-i j : or on la rendra plus grande si Ton diminue le dénominateur/» -f- 1 et qu'on augmente l'exposant n-^-Z'^ et on la rendra plus petite en augmentant le dénominateur et diminuant l'exposant. L'expression proposée sera donc comprise entre

RÈGLES SUR LA COTfVERCKNCB DES SÉRIES. 549

les deux suivantes ;

que Ton peut mettre respectivement sous la forme

Or il est évident qu elles tendent l'une et l'autre vers la limite e, puisque ^ est entier, et que d'ailleurs le facteur

I H — et le diviseur i H tendent vers Funité à me-

sure que (x augmente. Donc enfin la quantité intermédiaire ( I H ) tend vers e , de quelque manière que

varie la quantité positive, indéfiniment croissante, dési*gnée par m.

Si l'on pose — = a , on énoncera le même résultat de

cette autre manière :

L'expression (n-a)** tend vers la limite e lorsque a est une quantité positive qui tend vers zéro, suivant une loi quelconque.

Il reste à considérer le cas de —? ou de or, négatif et tendant vers zéro. On posera , dans ce cas, i -H a = -^

S sera une quantité positive tendant vers zéro. On tirera de cette relation

H-6 et, par suite,