NOT£ I

certaine valeur de n jusqu'à- l'infinî. On aura alors les inégalités suivantes :

d'où

Un < a», «„^, < a'»+', M„^.,'< a«+%

Donc , à partir d'une valeur convenable de n , tous les termes de la série sont au-dessous de ceux de la progression géométrique décroissante

donc la série proposée a une limite; et Ton aura une quantité plus grande quie Terreur commise en s' arrêtant à W;,-.!, en prenant la limite de cette progression géomé-

tnque, qui est ^

Supposons maintenant k^i^ et soit encore a un nombre quelconque compris entre k et i \ on finira par

avoir m^> a, au delà d'une certaine valeur de n , et l'on aura alors les inégalités

d'où il suit qu à partir de i/„, les termes de la série sont au-dessus de ceux de la progression géométrique croissante

Ils croissent donc eux-mêmes indéfiniment, et la série proposée est divergente.

Enfin , si l'on avait A = i , on ne pourrait affirmer, en général , si la série est convergente ou divergente.

RKGLES SUR LA GONVKEGENCE DES SERIES. 553

H. Troisième théorème. — Si les termes d'une série

\yont constamment en décroissant à partir du premier^ cette série sera cony^ergente ou diuergenie en même temps que la suii^ante :

(2) tfo H- 21*1 -h4"3 -H 8«7 -h i6tt,i -f-. . . .

En effet, supposons d'abord la première série convergente. Ses termes allant constamment en décroissant, on aura les relations suivantes :

«0= Wa, 2tf, =: 2 a, ,

8tt7 <C 2 «4 -4- 2 Wj -H 2 W« -h 2 «7 , l6tt,5<2f/8-+- + 2M,5,

Ajoutant membre à membre ces égalités et inégalités en nombre inCni , on voit que la somme des premiers membres, qui sont les termes de la série (2), sera au-dessous delà somme de ceux de la suivante, terminés au même indice de a,

«0 H- 2 a, -h 2 «2 -h 2 tt3 -4- 2 £!< H- . . . .

Or cette série n'est autre chose que la série (i) dont on aurait doublé les termes, excepté le premier. Elle a donc une limite, et, par conséquent, la série (2) en a une à plus forte raison. Ainsi , d'abord la convergence de la première série entraîne celle de la seconde. Supposons, en second lieu, la série (i) divergente, ses termes allant toujours en décroissant; on aura évidemment les rela-

lions suivantes :

Uq =. u.

Sa, > «7 -h «8 + a,4.

Ajoutant les premiers membres entre eux, ainsi que les seconds, on reconnaît que la somme des termes de la série ( 2 ) est plus grande que la somme de ceux de la série (1) , terminés à celui d'indice double 5 et comme cette dernière croît indéfiniment par hypothèse, il en est de même de l'autre. D'où il suit encore, comme on voulait le démontrer, que la divergence de la série (i) entraîne celle de la série (2). Donc, enfin, les deux séries proposées sont toujours en même temps convergentes ou divergentes.