Prenons par exemple, pour la série (1), la suivante
la série {2) deviendra
Or cette dernière est une progression géométrique dont la raison est 2'^^". Elle est décroissante si l'on a fji^ i, et croissante si /x <[ i ou |ul=:i. Donc aussi la série (3) est convergente si fx > i , et divergente si p. <^ i , ou fi = i » La conséquence relative à /ut = i montre que la série
I 1 I est infinie, comme nous l'avions déjà reconnu.
13. Quatrième théorème. — La série est cony^ergente y lorsque ^ n croissant indéfiniment^
-j— ^ a une limite plus grande que f unité. Elle est diluer-
gente si cette limite est plus petite que V unité.
En effet, soit h cette limite, et supposons d'abord h^\. On aura donc, depuis une certaine valeur de n jusqu'à l'infini, a désignant un nombre compris entre I et A,
-,->a, ou «„<-.
Les termes de la série proposée, à partir de //„, sont donc inférieurs a ceux de la suivante :
Or celle-ci est convergente d'après le théorème précédent, puisque l'on a a ^ i ; donc aussi la proposée est convergente.
Supposons en second lieu A < i^ et soit a un nombre compris entre i et A. On finira par avoir, au delà d'une certaine valeur de n ,
-f-<^«, ou «„>-.
Les termes de la série proposée seront donc alors audessus de ceux de la suivante :
Mais celle dernière esl divergente, puisque l'on a a <[ i : donc la proposée Test aussi. Ce qu il fallait démontrer,
14. Lorsque la limite h est l'unité, on ne peut, en général, prononcer sur la convergence ou la divergence
de la série. Cependant, lorsque le rapport -j— ^ est toujours
inférieur à sa limite i, il est facile de démontrer que la série est divergente.
En effet, Tinégalité -p^ <^ i donne
donc les termes de la série proposée sont au-deaBus de ceux de la suivante :
que nous avons démontrée divergente. La proposée l'est donc elle-même.
Si le rapport y-^ était, au contraire, toujours supérieur
à sa limite i, on prouverait bien que les termes de la série proposée sont au-dessous de ceux de la suivante :
mais celle-ci étant divergente, on ne saurait en conclure que la proposée est convergente.
RjèCLES SUR LA CONVEROENCB DES SÉRIFS. 557
Autre règle pour la convergence des séries,
IS. Remarquons d'abord que si l'on a une série convergente
et qu'une autre série
«'o -+- «^ -4- . . . -h fn -+- i'n+\ -h . . .
soit telle, que, depuis un certain terme jusqu'à Tinfini , on ait
^n Un
cette seconde série sera convergente; car, si Ton multiplie la première par — > n ayant une valeur déterminée
telle, que la condition supposée soit remplie, la série ainsi obtenue sera encore convergente. Or tous les termes de la seconde, depuis i^„, se trouveront inférieurs aux termes correspondants de cette dernière-, donc la seconde série sera elle-même convergente.
Cela posé, considérons une série
telle, que Ion ait
lim. = I,
Un
le rapport -^ étant toujours plus petit que l'unité, depuis
une certaine valeur de n jusqu'à l'infini . On pourra mettre ce rapport soùs la forme
Un I -h a
OL étant positif et tendant vers zéro.
Or nous allons démontrer que si l'on a lim. noL ]> 1,
Ja série sera convergente-, et qu'elle sera divergente si l'on a
lim. /la <^ I.
1°. Soit
lim. n(f.z=z k et k^\.
Désignons par m une quantité déterminée quelconque , comprise entre i et /r, et, par conséquent , plus grande que l'unité. Il est facile de voir que , depuis une certaine valeur de n jusqu'à Uinfini, on aura
En effet,
\ nj n \ .un}
et pour que l'inégalité, précédente ait lieu, il suffira que l'on ait
ou
Or le second membre tend vers m et le premier vers Ar, à mesure que n augmente : donc, depuis une valeur déterminée de n jusqu'à l'infini , l'inégalité aura lieu , puisque la limite de son premier membre est plus grande que la limite du second -, donc depuis cette valeur de n jusqu'à l'infini, on aura
RÈGLES SUR LA COKVF.RGENCE DES SÉRIES. 55q
et , par suite,
ou
Mais si l'on considère la série
le rapport du terme général au précédent sera
et , par conséquent , plus grand que dans la série proposée. Déplus, la série (i) est convergente, puisque l'on a /w ^ I : donc aussi la série proposée est convergente ; ce que nous nous proposions de démontrer.
2°. Soit maintenant
liiîi. n(f.z=z h et /• <; 1.
Prenons une quantité quelconque m comprise entre i et ft, et , par suite, plus petite que l'unité-, je dis que l'on finira par avoir constamment
OU
^m mim — i)
ou encore
56o IfOTB I.
Eu effet, lorsque n croît indétiniment^ le premier membre tend vers /r, et le second vers m , qui est plus grand que k. Donc, depuis une certaine valeur de n jusqu'à rinfîni, les inégalités précédentes auront lieu-, d'où il résultera
■ y-^Ff '■
et , par conséquent , -^ finit par être constamment su-
périeur au rapport des termes correspondants de la série
dont le terme général est — . Mais m étant plus petit que
Tunité, cette dernière série est infinie; donc la proposée Test aussi.
Donc enfin, comme nous l'avions annoncé, la série proposée sera convergente si l'on a lim. wa ^ i , et divergente si Ton a lim. /xa < i .
16. On ne peut, en général, prononcer sur la nature de la série, lorsque l'on a
lim. «a = I.
Néanmoins , si na est toujours plus petit que la limite i , on peut affirmer que la série est divergente ; car alors on a
e rapport est supérieur au rapport relalit
h la série divergente
d'où il résulte que la série proposée est infinie.
tlÈGLES SUR LA CONVERCEKCE DES SÉRIES. 56 1
Le seul cas qui reste douteux est donc celui où Ton a lim. na :=z ly noc n'étant pas constamment plus petit que i •
