Appliquons cette même règle à la série

log2 logS j^^^'^ .

On a alors Ux=^ -^5 expression qui décroît constamment depuis la valeur de x pour laquelle log x = i . Or

/dxXo^x log^j? ^ X 2 loge

Donc / Ujcdx est infinie, et la série en question est dit/m

vergentej ce qui montre que le produit V^2V^3 v4 ••• V^'*-». est infini. Notre première règle conduirait au même résultat, parce que l'on aurait

logw — wlogf I +- j log« -h log f iH- i j

ce qui donne lim. na = i . Mais comme on a évidemment * Tia <^i 5 la série est divergente, d'après une remarque faite précédemment.

/la = •

BÈGLES SUR LA CONVERGENCE DES SEEIES. 565

L'une et l'autre règle feraient voir que la^ série dont le terme général est ( —2— j est convergente.

Séries dont tous les tenues ne sont pas de même signe,

21 . Lorsqu'une série n^a pas tous ses termes de même signe , il est évident qu'elle sera convergente , si elle Test quand on donne le même signe à tous ses termes, par exemple quand on les prend tous positifs. En effet, la somme des termes qui suivent Tun quelconque de ceux de la série proposée , est moindre que la somme des correspondants de la seconde , quel que soit le nombre que Ton en considère, puisque tous ces termes s'ajoutent entre eux dans la seconde, tandis que les uns sVjoutent et les autres se retranchent dans la première. Donc, puisqu'à partir d'un certain terme de la seconde, la somme des suivants a une limite qui peut devenir moindre que toute quantité donnée , il en est de même à plus forte, raison dans la première , et , par conséquent , elle est convergente.

On peut donc d' abord appliquer à ces nouvelles séries les règles données pour celles dont tous les termes sont de même signe, tant pour reconnaître la convergence que pour calculer une limite de l'erreur commise en s'arrê-r tant à un terme quelconque. Mais ces règles ne dispensent pas d'en chercher de nouvelles, spécialement applicables aux séries dont tous les termes ne sont pas de même signe*, parce qu une pareille série peut être convergente,, et devenir divergente quand on donne le même signe à tous ses termes. Nous nous bornerons à celle qui résulte du théorème suivant :

Théorème. — Lorsque dans une série les termes finissent par être constamment décroissants^ et al/erna-r

566 KOTE I.

twement positifs et négatifs , cette série est toujours coni^ergente ^ et V erreur commise, en s* arrêtant à un terme quelconque y est moindre que le suiv^ant. Soit la série

Désignons, en général, pair 5^ la somme des termes depuis le premier jusqu'à u^ inclusivement.

Nous remarquerons d'abord que la somme 5„ de termes dont le dernier est positif ne peut être que diminuée par l'addition d'un nombre quelconque des termes suivants. En effet, pour passer de la somme 5„ à J„+t, il faut retrancher m„^.i ; donc on a Sn^i <C^n» Pour obtenir la somme suivante 5„4.j, il faut ajouter «„+«, qui est moindre que le terme Un^y qui a été retranché de 5„ 5 donc on a encore jr^, <^ jr„. Le même raisonnement se reproduisant indéfiniment, on voit que la somme 5„ est plus grande que toutes celles dont l'indice est plus élevé.

On voit, au contraire, que si l'on s'arrête à un terme négatif, la somme sera toujours moindre que toutes celles dont l'indice est plus élevé.

Ainsi les sommes dont le dernier terme est positif vont toujours en diminuant \ et celles dont le dernier terme est négatif augmentent constamment , en restant toujours au-dessous des premières. Ces deux suites de sommes se rapprochent donc de plus en plus à mesure qu'on avance dans la série, et leur différence tend vers zéro , puisqu'elle n'est autre chose que le dernier terme de la dernière , lequel tend vers zéro , par hypothèse , à mesure que son indice augmente indéfiniment.

Donc enfin la somme des termes tend vers une limite déterminée, et l'erreur positive ou négative est toujours moindre que le tenne qui suit celui auquel on s'est arrêté.

Soil, par exemple, la série

Le rapport d'un terme au précédent est exprimé généralement par j: , et sa limite est x. Ainsi , d'abord la

série sera convergente si l'on a x <[ i en valeur absolue ; divergente si a: ]> i . Lorsque a? = i , la série est convergente en vertu de la dernière règle , puisque les termes sont alternativement positifs et négatifs, et décroissent indéfiniment. Mais si l'on prenait x = — ' i , la série aurait une somme infinie.

Lorsque la série est convergente, Terreur que Ton commet, c'est-à-dire la quantité que l'on omet, en s'arrêtant

à —, est moindre que > et de même signe que ce

terme.

Des séries imaginaires,

22. Lorsque les termes d'une série sont de la forme it-\-y \J — I , on entend que cette série est convergente lorsque la somme des termes rçels a une limite 5, et que la somme des coefficients de V — ^ tend de même vers une limite t : on dit alors que la limite de la série est ^ -h f v^ — I.

On est ainsi ramené aux conditions de convergence de deux séries réelles. Mais il suffit souvent d'en considérer Une seule, celle qui se rapporte aux modules des termes de la proposée.

En effet, on peut toujours poser

« -h r V^ — i =r p (cosO + \/ — i sin v),