HOTE

et la série proposée prend la forme

/ \ l?ù (cosôo 4- V'^^sin G») -h pi (cose, -4- V^~sin Oi) -+* • • •

( -h pn (cosÔ„ 4- \/^sinÔ„) -f-

Or, sî la série

W p* 4- Pi -f- f^i -f- . . . -f- p» 4- . . •

est convergente, en prenant tous les termes positifs , il

s'ensuit^ à plus forte raison, que les deux suivantes :

/3) I ^* ^^^^^ "^ P' ^°^®* -h . . . 4- p„ cos0„ 4- . . . ,

I po sin ôo 4- pi sin 0, 4- . . . 4- pn sin Oj, 4- . • . le seront elles-mêmes; car, à partir d'un terme quel-r conque, la somme des suivants jusqu'à Tinfini est évidemment moindre que dans la première. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Une série imaginaire est convergente lorsque la série des valeurs absolues des modules de tous ses termes est conv^ergente.

Lorsque la série (a) n'est pas convergente , il est possible que ses termes tendent ou ne tendent pas vers zéro. S'ils n'y tendent pas , les séries (3) ne peuvent être toi^tes deux convergentes-, car, quelque valeur qu'on paisse supposer à l'angle 9, il est impossible que p cos 9 etp sin B tendent tous deux vers zéro, si p n'y tend pas. Les termes des deux séries (3) ne peuvent donc tendre vers zéro , ce qui est cependant une des conditions indispensables de la convergence. La série (i) est donc, dans ce cas, divergente. En second lieu , si la série (a) étant divergente ses termes décroissent indéfiniment, il n'est pas impossible que les séries (3) soient convergentes, parce que tou^ leurs termes ne sont pas de même signe ] on ne peut donc alors rien affirmer, en général, sur la convergence de la série proposée.

SDR LES EXPRESSIONS IMAGINAIRES. COMMENT ON LES INTRODUIT DANS LES DONNÉES DU CALCUL.

23. Lit résolution des équations du deuxième degré conduit quelquefois à extraire des racines carrées de quantités négatives. Ces sortes d'expressions ne représentent pas des nombres , soit positifs , soit négatifs *, on les désigne sous le nom de quantités imaginaires. Nous n'avons pas pour objet d*examiner ici à quelles circonstances correspondent ces formes dans les questions proposées; nous nous bornerons à dire qu'en substituant ces expressions à l'inconnue, l'équation que Ton avait à résoudre devient identique, pourvu que les racines carrées des quantités négatives soient traitées d'après les règles ordinaires de l'algèbre, et que l'on considère leur carré comme s' obtenant par la suppression du radical.

Si Ton a, par exemple, l'équation

*' — 2 flj? -}- rt' + ^' =r o, on en tire les deux valeurs imaginaires X = û ± \/— ^%

et l'on peut vérifier que la substitution de cette valeur dans l'équation la réduit à o = o.

Il en serait de même si, au lieu de V^ — è*, on mettait b si — I, et c'est ce que l'on fait ordinairement, afin que la seule quantité imaginaire à considérer soit toujours si — I. Les valeurs de o: se trouvent ainsi mises sous la

forme

Il semble d'abord que toutes les considérations auxquelles ces sortes d'expressions peuvent donner lieu , soient relatives aux circonstances qui leur donnent naissance dans les questions dont elles présentent la solution ^ mais on a trouvé de très-grands avantages à les introduire dans les données mêmes de certains calculs, et c'est sous ce point de vue que nous allons les considérer.

Sans attacher aucune idée de quantité à l'expression V^ — i, nous convenons de la traiter de la même manière que si c'était un nombre dont les puissances successives seraient

les quatre premières se reproduisant indéfiniment dans le même ordre..

Rien ne s'oppose à ce que Ton fasse des calculs algébriques dans lesquels y — i soit traité de cette manière 5 il ne s'agit que de savoir s'il y a quelque intérêt à le faire , et si de pareilles opérations peuvent offrir de nouvelles ressources à l'analyse. Il pourra quelquefois être plus commode de remplacer v — i par une lettre dont les puissances se distinguent toutes les unes des autres , tandis que celles de y — i se reproduisent périodiquement. En désignant y — ^ par X, nous entendrons que X soit ' traité comme un facteur ordinaire , d'après toutes les règles démontrées dans le cas des quantités réelles; seulement, après tous les calculs effectués, on remplacera les puissances

par

24, Lorsque nous poserons une équation entre des quantités réelles et imaginaires, comme

A 4- B v'^ = A' + B' sf^i,

nous entendrons toujours que Ton savait d'avance que A = A' et B = B'. Ces dernières équations ne seront jamais des conséquences de la première 5 c'est, au contraire , la première qui en est la conséquence . et nous n'attacherions aucun sens à cette équation si nous ne savions , indépendamment d'elle , que les parties réelles sont égales de part et d'autre, ainsi que les coefficients respectifs de y — '• Nous insistons sur ce point, parce que la plupart des auteurs l'entendent de la manière inverse.

25, Ayant bien établi de quelle manière nous traiterons l'expression V — i > nous allous montrer, par un premier exemple, l'avantage que l'on peut avoir à Tintroduire dans le calcul.

Considérons les deux expressions

cos.r-|-\/ — I siao:, cos j H- y^ — i sin j,

et multiplions-leë entre elles, dans le sens que nous attachons ici à cette opération 5 nous trouverons

cosarcosj^ — sinjjsiny 4-v/ — i (sinxcosj-f-sin jcosj?), * ou

ces (^H-jr) 4- y/ — I sin (a? -4- j).

Nous pouvons donc poser

(cosa--4- v''— I sinx) (co8 >--î-V^ — i sinj)= cos {x 4-X ) -h\/ — i sin(x4-r)j

puisque nous avons prouvé d'avance que les parties réelles