S'JI NOTE II

étaient respectivement égales, ainsi que les coefficients

de V^^.

Et Ton conclut de là que pour diviser deux expressions de cette forme l'une par l'autre (en entendant par quotient une expression qui , multipliée par le diviseur suivant les règles convenues, reproduirait le dividende) il suffit de retrancher l'arc qui se trouve au diviseur de celui qui entre dans le dividende.

En multipliant le produit de ces premières expressions par une troisième cos^ -h ^ — i sin^, il suffira encore d'ajouter les arcs x -h/ et z, ce qui donnera la nouvelle équation

(cosar-H v^ — I sinx) (00374- V^— i sin/) (cosz-h)/ — l'sinz) = cos(x-H7-hz) + y/— I sin(x-hx -h z);

et il est facile de voir que, quel que soit le nombre des facteurs de cette forme , leur produit effisctué donnera toujours pour partie réelle le cosinus de la somme de tous les arcs, et pour coefficient de y/ — i le sinus de cette même somme. On pourra donc poser une équation semblable à la dernière , en supposant un nombre m quelconque de facteurs, puisque les parties réelles sont démontrées égales, ainsi que les parties imaginaires.

En supposant le cas particulier où x = y = z=....,

on aurait la formule suivante , qui est due à Moîvre :

( I ) (cosx -f- ^ — 1 sin xp = ces mx -h ^ — i sin mx ;

il est donc prouvé que , si l'on forme la puissance m du binôme cos x H- y — i sin x d'après les règles ordinaires, la partie réelle sera égale à cos mx^ et le coefficient de V— I à sinmx. Or le développement de la puissance m d'un binôme s'effectue au moyen d'une formule trèssimple 5 on aura donc ainsi le développement général dç

cos mx et sin mx^ m étant un nombre entier quelconque. Ces formules sont

mim — i)

cos w^ ■=. cos" X i cos'"'''x sin' x

mim — i) (/n — 2) (/tî — 3)