cos'«-'*:csin

, . mim — i)(m — 2) ;

sln mx = m cos"*"' j: sm x ^ '-^ cos^-'o: sm'x 4- ... «

On peut observer que le développement de

(cos j: — v^ — I sin .r)" ne différerait de celui de

(cosx-l-v^ — I sinj?)'"

que par le signe des termes où se trouvent les puissances impaires de V^ — i, et que, par conséquent,

(cosar — \/— i sin ^f)" = cos mx — \/ — 1 sin mx.

26. .En entendant par racine n'^"*" d'une expression imaginaire une autre expression qui; élevée à la puis'sance n , suivant le sens convenu , reproduirait la pre-

mière, on voit que cos - ± y — i sin - est une racine n'*'"*

de cosorzii y — i sin a:, puisque nous avons prouvé que pour élever une semblable expression à la puissance tV'""'\, il suffit de multiplier Tare par n. On a donc

(cos ^ ± s/— I sin x)** = cos - ± i^— i sin - ; ^ . ' n n

et si Ton élève les deux membres à la puissance p, il vient

(cos.r±\/— I sin.r)" = cos-x± v^—i sin- jt,

ce qui montre que Tequalion (i) est vraie quand m est un uoriibre fractionnaire quelconque ~i en entendant seulement par là que cos -.rih v^— i sîn^ x, élevé à la puissance n , donnerait la puissance p de cosx ± V---i sin x, et que, par conséquent, il est une des racines /j'*'"" de cette puissance p.

L'équation (i) est encore vraie si m est égal à un nombre négatif — n. En effet,

(cosjr-f-V-' smxj =; . — . — \^ ~" / ; — r^""! S;

^ (cos X H- y— -i sin x) \cos nx -f- y— i sin nx) '

or diviser par cos wa:-|- v' — i sin nx^ c'est trouver une expression qui, multipliée par ce diviseur d'après les règles convenues, donne pour produit le dividende; ce quotient est donc cos nx — y — i sin hx. Donc

(coso:-!- v^ — I sinx)~" = cos( — nx 4- yj — i sin ( — nx).

La formule (1) est donc vraie, quelque valeur rédle qu^ait m , en observant toutefois que si la puissance m est susceptible de plusieurs valeurs, nous avons seulement prouvé ici que le second membre en est une.

27. Nous allons résoudre maintenant la question inverse , qui consiste à développer cos'" jc et sin'" x au moyen des cosinus et sinus des arcs multiples de x, m étant on nombre entier.

Pour cela, nous poserons

d'où

cos X 4- y — I sin a: r=r « , cos X — ^ — I sin x=.v\

2 cos X =1 a

SUR LES EXPRESSIONS lUAGIiNAIRES. 5^5

et, par suite,

Observant maintenant que Mi^ = i , et que w*-f- p'*== 2 cos/fo:", on aura

mm / V m (m — ''),,>

2 cos a: = 2 cos mx~\-i.m cos(m — 2 ) z-t-2 . — ^ -^ cos (wi~4 ) '"+" • • • •

Si m est pair, le terme qui se trouve au milieu du dévelop-

w(/w — 1).. J^-hi)

pement de (w -f- v')"* se réduit à — ^ et

forme le dernier terme du développement de 2" cos'" j:.

Si m est impair, les deux termes du milieu sont en ù et f^

de la forme

expressions qui se réduisent respectivement à u et ^, puisque Mf^rizi.Le dernier terme dudéveloppement de 2"* cos'" a? est alors

2 \ ^ ces X.

On développera maintenant sin'" j?, en observant que

2 \/ — I sin a: rr: f« — c ,

d'où

2'» i/— I Y sxïiP'x z=z «"' — /;?tt'""' P -I ^ ' w™-' <^' . . •

ce qui signifie toujours que les parties réelles sont les mêmes de part et d'autre, ainsi que les coefficients de y/ — i^ s'il y reste, ce qui n'arrivera que si m est impair.

Sn6 NOTE II.

Supposons d'al)ord m pair : les termes à égale distance des extrêmes seront de même signe, et, en les réunissant deux à deux , on trouvera

2" ( — I )2 sin"' ^ = 2 cos mx — 2 m ces [m — 2) x

^ 2 — ^ L cos (/« — 4 ) ^ — • • • >

le dernier terme sera

le signe -4- correspondant à — pair, et le signe — ^ ^

impair. Si m est impair, le développement pourra se mettre sous la forme

en remplaçant partout mm par £ , Si donc on observe qpe M* — v^=i sj — I sin/ta:, on aura , en ne prenant que les coefficients de sj — i^

2*" (^- 1) ^ sin^o? = 2 sin mx — 2m sin [m — 2) :c le dernier terme sera

mim^i) , . ,.