i isinfw ^A)x
± 2 ■—■ — -^ — '" sin^r,
le signe -h ayant lieu quand sera pair, et le signe
— quand il sera impair.
â8. Examinons maintenant en quoi consiste Tavantage que Femploî de \J — i a procuré dans la recherche des développements de cos"*j: et 8in"*.r.
Nous avons remplacé a cos jcpar
cosj: -h V^— I sinj? -h coso? — y^— i sina?,
qui lui est identique, puisque les deux termes
V^ — I sin X et — sj — i sin jc ,
traités comme s'ils représentaient des nombres , se détruisent. Et même si, au lieu de v^ — i, on met une quantité X indéterminée, on pourra remplacer 2 cosx par
(cosx -h ^sin^) -I- (cosx — Xsina;);
et quelque calcul que Ton effectue sur cette expression , le résultat sera nécessairement indépendant de i, et les puissances d'un même degré quelconque de cette lettre auront zéro pour Coefficient. Or prendre seulement les termes réels du résultat, c'est négliger les puissances impaires de X et ne conserver que les puissances paires, ce qui est permis, puisque les coefficients de chaque puissance de X sont nuls. Mais quand on remplacera X* par — 1 5 il pourra y avoir des réductions entre les termes correspondants à des puissances différentes de X , et notaniment avec ceux qui ne renfermaient pas X, et qui sont précisément ceux que Ton trouverait en ne transformant pas d'abord 2cos.r. Il peut donc résulter de \k de nouvelles combinjiisons qui , sans altérer la valeur du résultat, lui donnent une forme plus commode. Cela revient à ajouter au résultat des quantités qui se détruisent : mais à chaque instant^ dans l'algèbre, on voit de pareils artifices faciliter les transformations: et ce qui fait que, dans le cas actuel , on en retire réellement un très -grand I. 37
avantage , c'est que les deux binômes dont la somme remplace 2 cos X sont tels, que les puissances de chacun d'eux s'effectuent immédiatement parla multiplication de l'arc, et que le produit des puissances semblables de Tun et l'autre est l'unité. Il résulte de là que la puissance m'**"* de cosj? se trouve immédiatement exprimée au moyen des cosinus des arcs multiples de or ^ et il en est de même pour sin'^jc.
Usage des lignes tri gonométriques pour V extraction des racines des quantités réelles ou imaginaires, «
29. Les racines de degré m d'un nombre réel positif ou négatif ± A , sont les racines de l'équation 7«rpA = o;
ces racines peuvent se ramener à celtes de l'unité, en posant^ ==ûj:, a désignant la racine »'*"*' arithmétique du nombre A; l'équation proposée se trouve ainsi ramenée à la suivante :
x'^Zfii = o,
dont nous allons déterminer les m racines, qui sont toutes inégales, puisqu'il n'y a pas de commun diviseur entre le premier membre et sa dérivée. Soit d'abord
x^ — 1 = 0, ou j:^ = I .
Nous pouvons représenter i par une expression de la forme cosz -f- ^ — i sinz, dont nous savons qu'il est facile d'extraire la racine. Il suffit de poser z= 2/i7r, n étant un nombre entier quelconque positif ou négatif 5 et Ton aura identiquement
1= cos2/7fr -h v/ — I sina/iTT.
Donc Texpression
( 1 ) cos h V — ï sin
donne des racines m'^"*" de i, et, par consé(][uent, des valeurs de x pour toute valeur entière de n.
Or on reconnaît immédiatement que l'expression (i) ne change pas quand on augmente ou qu'on diminue n de m ou d'un multiple entier quelconque de m. Il |uffit donc , dans la série indéfinie des nombres entiers positifs ou négatifs, d'en prendre m consécutifs quelconques 5 ils donneront toutes les valeurs de l'expression (i). De plus, il est facile de voir qu'elles seront toutes différentes , parce que deux de ces arcs ne peuvent avoir le même sinus et le niême cosinus -, donc toutes les racines de l'équation
jf* — 1 = 0
seront données par la formule
2nit , , . imc
cos-
dans laquelle on donnera à n les valeurs o, i, 2, elc. , jusqu'à ce que l'on ait m valeurs pour le second membre 5 car c'est comme si l'on donnait k n^ m valeurs consécutives, les unes positives , les autres négatives. Si m est pair, on posera m = aAr, et il viendra
x=zcos-r-±\ — isin-j--
Il faudra alors donner à n les valeurs o, i, 2,... , A. Les deux extrêmes donnent x = i^x = — i, et toutes les autres valeurs de x sont imaginaires , conjuguées et réciproques deux à deux.
Si l'on a
il faudra donner à n les valeurs o,i,2,...,/r.
La première donne x = i] les autres sont toutes imaginaires, conjuguées et réciproques.
58o NOTE II.
