APPLICATIONS MÉCANIQUES. DÉTERMINATION DES CENTRES DE GRAVITÉ
51 . Nous admettons comme connue la théorie des centres de gravité enseignée dans les cours les plus élémentaires de Statique , et nous nous proposons de la prendre comme un nouvel exemple de Tavantage des méthodes précédentes.
La proposition dont l'application est la plus générale dans la théorie des forces parallèles et qui découle naturellement du principe du levier , est ce qu'on nomme le tJiéorème des moments , On appelle mom^ent dixme force par rapport à un plan, le produit de cette force par la distance de son point d'application à ce plan. Cela posé, si l'on conçoit un système quelconque de forces parallèles , que Ton considère comme positives celles dont les directions sont dans Tun des sens , et comme négatives celles qui sont dans l'autre, et qu'il en soit de même pour les perpendiculaires abaissées sur un plan choisi arbitrairement, et dont le signe dépendra du côté où elles se trouveront par rapport au plan , le théorème des moments consiste , comme on le sait , en ce que le moment de la résultante des forces parallèles par rapport au plan est égal à la somme algébrique des moments des composantes. Il résulte de là que les coordonnées rectilignes du point d'application de la résultante s'obtiendront en divisant par la résultante la somme des moments des forces par rapport aux trois plans coordonnés. Ce point d'applica
tion de la résultante, que Ton nomme le centre des forces parallèles , devient le centre de gravité quand ces forces sont des poids ; et l'on voit aussi comment le théorème des moments peut être employé à la détermination des centres de gravité.
Nous allons faire voir comment les considérations infinitésimales s'appliquent aux surfaces planes et aux solides continus, et nous en donnerons quelques exemples pour bien faire comprendre les généralités.
Centres de grai^ité des aires planes.
52. Considérons une figure plane terminée par des droites ou des courbes quelconques, et supposons que des portions quelconques de cette figure aient ^es poids proportionnels à leurs aires respectives. Admettons ce principe établi dans la statique, que toute partie terminée par un contour convexe , c'est-à-dire qui n'a pas trois points en ligne droite, a son centre de gravité dans son intérieur. Admettons encore que le centre de gravité d'un parallélogramme est le point de rencontre de ses diagonales. Avec ces données , la recherche du centre de gravité d'une surface plane quelconque se ramène aux méthodes exposées précédenunent
En effet , prenons deux axes de coordonnées x\ y dans le plan de la surface. Le centre de gravité étant le point d'application de la résultante de toutes les forces appliquées à tous les points de la surface proportionnellement aux aires, si l'on décompose la surface en un nombre quelconque de parties , et que l'on considère en tous les centres de gravité de ces parties , des forces parallèles , représentées par leurs aires respectives , et dont la résultante sera représentée par l'aire totale et appliquée au centre de gravité cherché; cette aire totale multipliée par
DES QUANTITÉS GONSIDÉailS GOMME LIMITES. *]*]
Fabscisse de son centre de gravité, sera égale à la somme des aires partielles multipliées par les abscisses de leurs centres de gravité. Si les axes ne sont pas rectangulaires , ces produits ne sont pas les moments eux-mêmes, mais proportionnels aux moments, ce qui suffit pour l'exactitude de l'équation. Mais comme il ne serait pas plus facile de trouver les centres de gravité de toutes les parties que de la surface entière, on supposera ces parties infiniment petites-, leurs moments le seront, par suite, et par conséquent on pourra leur substituer d'autres infiniment petits, plus simples, assujettis à la seule condition que leurs rapports aient respectivement pour limite l'unité. Mais alors ce sera seulement la limite de leur somme qui sera égale au moment de la résultante et qui , par conséquent, divisée par l'aire de la figure donnée, fera connaître l'abscisse du centre de gravité.
Le mode de décomposition qui se présente de lui-même pour déterminer cette abscisse consiste dans un système de parallèles à l'axe des j^, infiniment voisines les unes des autres. Le segment compris entre deux parallèles consécutives peut toujours être considéré comme ayant son contour convexe, puisque ses deux bases sont aussi voisines qu'on voudra 5 son centre de gravité sera donc entre ces deux droites , et son abscisse différera d'une quantité infiniment petite des abscisses de chacune d'elles ; on peut donc substituer au moment de ce segment le produit de son aire par l'abscisse de l'une ou de l'autre de ces deux parallèles à l'axe des y^ car le rapport de ce produit au moment véritable a pour limite l'unité, quand la distance de ces parallèles tend vers zéro. Et, par la même raison, on pourra, dans ce produit, substituer à l'aire du segment celle du parallélogramme ayant Tune des cordes parallèles pour base et sa distance à l'autre pour hauteur.
nS LIVRE I.
Donc, si Ton désigne par Y et j' les ordonnées des deux points extrêmes de la corde qui correspond à l'abscisse quelconque a:, par a la partie de l'axe des x interceptée entre deux cordes consécutives -, par A Taire de la figure , et par Xt , /i les coordonnées inconnues du centre de gravité, on aura, en supposant, pour plus de simplicité , les axes* rectangulaires ,
Ajt, = liiii.\^ (Y — y)^0Lj
d^où Ton tirera Xi , si Ton peut déterminer la limite de cette somme, ainsi que A.
On aurait y^ par un procédé analogue, en décomposant la figure au moyen d'un système de parallèles à l'axe des x. Mais on peut aussi conserver le premier mode, en remarquant que le centre de gravité d'un des éléments ne peut être qu'à une distance infiniment petite de celui du rectangle inscrit ou circonscrit , et que, par conséquent, on peut substituer au moment exact de cet
fY -4- y) élément le produit de Taire du rectangle par • ^?
qui est l'ordonnée du centre de ce rectangle. On aura ainsi
et si Ton peut trouver cette limite, y^ sera déterminé.
S3. Cette formule donne lieu à une remarque curieuse. Si Ton multiplie ses deux membres par 2 7r, il vient
25r7, A = lim. TT ^^ (Y* — y^) a.
Or le second membre représente le volume engendré par Taire en question, tournant autour de l'axe des x. Le volume engendré est donc égal à Vaire de la figure génératrice, multipliée par la circonférence que décrit son centre de grasfité.
DES QUANTITÉS GONSiDiRXKS COHMB LIMITES. 79
Ce théorème porte le nom de Guldin, quoiqu'il se trouve clairement énoncé dans les ouvrages de Pappus , géomètre de l'école d'Alexandrie.
Nous allons donner quelques exemples de ces formules.
54. Parabole du second ordre, — Soit l'équation j* = ^px et cherchons le centre de gravité du segment CAC [fi g» aa) terminé à la pei'pendiculaîre à l'axe, correspondante à l'abscisse AP = a. Les rectangles formés par les cordes parallèles à CC ayant tous leurs centres de gravité sur l'axe, leurs moments, par rapport à cet axe 5 seront nuls ; la limite de leur somme le sera donc , et 9 par suite , on aura
Le centre de gravité étant sur l'axe, il suflSt de connaître son abscisse Xi.
La formule précédente devient , dans le cas actuel ,
Aj:, = lim. 2/xa = 2 y^2/7 lim, 2^' a.
Mais, d'après une formule trouvée précédemment (n° 35), on a , entre les limites o et a ,
donc
lim. Sa:' a = -r,«' ;
Or, en faisant BC = i , on a
d'où l'on déduit
A = \ab,
8o LIVRE i.
C'est Archimède qui a découvert cette propriété, et même pour un segment de parabole déterminé par une sécante quelconque. Le calcul en serait tout à fait le même que celui que nous venons de faire pour une sécante perpendiculaire à l'axe de la courbe.
55. Paraboles çt hyperboles d'ordre quelconque. — Soit maintenant réquationj^= px"*, dans laquelle /n désigne un nombre de grandeur et de signe quelconque 5 on demande le centre de gravité de la surface terminée à cette courbe, à l'axe des :t:, et à deux perpendiculaires à l'axe des a:, correspondantes aux abscisses a^a' .
L'application des formules générales donnera
A.r, = plim. 2a?"*+-'a, A^, = — Km. 2J7*"a,
ou
Or nous avons trouvé (n° 35)
d'où résulte
/n 4- I «''»+» — «"»•+■' p(ni-\- 1) a 2'»+'— «»'»+•
^' ~ m -h 2 * «''"+• — a"^' ' •^''~ 2(2/714- i)* flf'"H-' — . a'»+' *
Si /w est positif, la courbe est parabolique , et si l'on fait commencer l'aire en question à l'origine, on a a = o; et, en désignant par i' l'ordonnée correspondante à a',
/îî 4- 2 2(2/W4-l) 2(2/?î4-l)
Dans la parabole du second degré , m = - j et l'on trouve 3 , 3,,
DES QUANTITISS GONSIDIÊREES COMME LIMITES. 8l
Si m est négatif, la courbe est hyperbolique et donne lieu à une discussion intéressante à laquelle nous ne nous arrêterons pas. On reconnaîtra sans peine que , quand Tabscisse extrême a' croit sans limite, il est possible, suivant la valeur de m , que le centre de gravité s'éloigne indéfiniment de l'axe des y^ en tendant vers Taxe des x^ ou tende vers une limite déterminée.
56. Centre de granité des solides de réi^olution . — Le centre de gravité sera évidemment sur l'axe de révolution •, il suffira donc de connaître son abscisse. Pour la trouver, on coupera le solide par des plans infiniment voisihs, perpendiculaires à l'axe de révolution que Ton prendra pour axe des a:*, et en supposant les poids proportionnels aux volumes, le produit du volume total par l'abscisse x^ du centre de gravité sers^ égal à la somme des produits des segments compris entre deux plans con» sécutifs par Vx du centre de gravité de ce segment. Pour simplifier ces produits , on substituera à ce dernier a: celui d'une quelconque des bases du segment, ou même tout autre qui en différerait d'une quantité infiniment petite ; on remplacera encore le volume du segment par celui du cylindre intérieur ou extérieur. Par là on n'aura altéré le moment du segment infiniment petit du solide que d'une quantité infiniment petite par rapport à lui-même. La limite de la somme de ces nouveaux produits sera donc égale à la sommé des moments eux-mêmes, ou au produit du volume total paroTi, et si l'on connaît cette limite de somme et le volume, on en déduira immédiatement x^. Cette proposition est exprimée par la formule, suivante
lim . 2 orj'a = a7i lim . Z j' a .
57. Paraholoïde. — Si la courbe génératrice est une parabole ayant pour équation y^ = ipx et tournant I. -6
autour de l'axe des a:, on aura, en remplaçant y par sa valeur en x ,
lira. 2 a:' a = x^ lim. 2 a: a,
et, d'après la valeur générale de lim. Sx"* A, cette équation se réduira à la suivante, en désignant toujours par a et a! les abscisses extrêmes,
=1 JCi ,
d'où
2 a'» -f- aa' + û'
""'-"3 ^^T^i ' si a = o 5 on a
résultat connu d' Archimède.
Le cas où l'on ferait tourner la parabole autour de sa tangente au sommet est renfermé dans le suivant.
58. Généralisons ce résultat en prenant pour courbe génératrice celle dont l'équation est
m désignant un nombre quelconque. L'équation générale devient
lim. 2 a:""+ ' a = :c, lim. 2 vC**" a , OU
d'où Ton tirera Xi*
On retombe sur le cas précédent en supposant m = - « = o, et on retrouve
On aurait le cas où la parabole tourne autour de sa tangente au sommet , en supposant ^/i = 2 , ce qui donne, en prenant encore a = o ,
59. Ellipsoïde. — En prenant pour équation de la courbe génératrice
l'équation qui doit donner Xi sera
/2^» b^ \ ,. /aè» b^ \
lim . 2a; 1 0? a:M a = a:, hm .21 — x ^' i « 1
ou
lim.2:c'a -lim.2j:*a
= Xx — hm.Sjca -lim.lJ?'a )•
Supposons que nous* considérions le volume commençant au sommet et terminé à l'abscisse a', nous trouverons , en substituant aux limites de sommes leurs valeurs données par la formule connue ,
Si l'on prend le demi- ellipsoïde, on a
û'=flf, et, par suite, a:, = Trû.
Le calcul se ferait d'une manière semblable pour l'hyperboloïde.
60. S'il s'agissait d'un solide terminé par une surface quelconque , on le décomposerait comme il a été fait pré-
cédemmeiit pour la mesure des volumes 5 oh considéreraît les éléments déterminés par deux séries de plans infiniment voisins , parallèles à deux des plans coordonnés , et on égalerait la somme de leurs moments par rapport à chacun des trois plans coordonnés , au moment de la résultante par rapport à ces mêmes plans. On négligerait dans chaque moment élémentaire une quantité infiniment petite par rapport A lui-même 5 ce qui permettrait de prendre, au lieu du volume de ce filet infiniment étroit, celui du parallélipipède intérieur ou extérieur, et le centre de gravité de ce parallélipipède au lieu de celui du filet même. Si l'on peut trouver les limites de ces trois sommes de moments prises dans toute Tétendue du corps, on obtiendra les trois coordonnées du centre de gravité de ce corps en les divisant par son volume.
On voit donc que la détermination du centre de gravité . des corps terminés par des surfaces quelconques se ramène à celle délimites de sommes d'infiniment petits.
DES QUANTITES CONSIDEE^ES COMME LIMITES. 85
