CHAPITRE XII

DES QUANTITÉS COJSSIDÉRÉES COMME LIMITES DE RAPPORTS d'infiniment PETITS.

61 . Le point de vue auquel les modernes ont considéré les» tangentes aux courbes, les a conduits naturellement aux rapports de quantités décroissant indéfiniment. Les anciens regardaient les tangentes comme des lignes telles, qu'à partir du point commun avec la courbe les deux branches de celle-ci se trouvaient d'un même côté de la droite-, tandis que les modernes les ont regardées comme limites de sécantes passant par le point donné de la courbe et par un second point de la même courbe , qui se rapproche indéfiniment du premier. 11 est résulté de là 5 comme nous allons le montrer, que les modernes ont été conduits à la recherche de limites de rapports d'infiniment petits, problème dont les anciens n'ont pas eu l'occasion de s'occuper.

Les points d'une courbe peuvent être rapportés à des systèmes de coordonnées très-divers, c'est-à-dire déterminés de bien des manières diflerentes par les valeurs de quantités variables. Nous allons examiner plusieurs de ces systèmes , et montrer que dans tous les cas la détermination de la tangente revient à celle de la limite du rapport de deux quantités infiniment petites, dépendant l'une de l'autre d'après les données de la question.

62. Coordonnées rectilignes. — Soient M (fig^ aS) un point donné sur une courbe rapportée à deux axes AX ,

86 LIVBS I.

AY ] AP, MP ses coordonnées x, y ] M' un. point de la

même courbe, qui se rapproclie indéfiniment de M, et

dont les coordonnées soient x-hh^y-{^k'^ la sécante

MM' coupe l'axe des x en un point S , et la limite R de la

position de ce point déterminera la limite de la sécante, ou

la tangente. La limite de S sera connue si Ton trouve la