Cette limite du rapport t se nomme la dérivée de la

fonction^ par rapport à x. Si cette fonction y est représentée par F [x) , on représente la dérivée par F' (a:). Ainsi dorénavant la signification de cet accent sera définie, pour toute fonction F, par l'équation suivante :

lim. J ^—^ = F'(.r).

En employant celte nouvelle dénomination, nous pou- ,vons donc dire que le problème des tangentes est ramené à la détermination de la dérivée d'une des coordonnées par rapport à l'autre; et que le coefficient d'inclinaison de la tangente sur l'axe des abscisses est la dérivée de l'ordonnée par rapport à l'abscisse.

Les dérivées ont beaucoup d'autres usages que la détermination des tangentes 5 nous nous bornerons en ce moment a quelques remarques très-simples. Si nous représentons, pour abréger, par k l'accroissement de F (x)^ correspondant à F accroissement h donné à j:, on aura

lim. ^ = F'(:r), h

et par conséquent j diffère de F' (x) d'une quantité qui

tend vers zéro en même temps que h •, la désignant par o), on aura

d'où

/• = li [F (a:) -^ w] .— /eF'(x) -+- A «.

Ainsi h F (x) ne diffère de k que d'une quantité infiniment petite par rapport k h ou k k'^ donc on pourra substituer h F' (x) à k toutes les fois que k sera un des termes (Tun rapport ou cPune somme d* infiniment petits, dont on chefchera la limite. Remarquons que h F' [x) est l'accroissement de l'ordonnée de la tangente pour l'accroissement h de l'abscisse. Donc h w est la différence des ordonnées de la courbe et de la tangente; elle est, comme on le voit, infiniment petite par rapport à l'accroissement même de l'ordonnée 5 et il faut remarquer que l'ordonnée peut avoir une direction arbitraire pourvu

que ce ne soit pas celle de la taugente elle-même, sans quoi F (x) ne serait pas une quantité finie et les formules précédentes ne subsisteraient plus. Il résulte de là une grande simplification, parce que la quantité w serait en général très-compliquée; et en négligeant la quantité Ao), il n'en résulte aucune erreur dans les limites des sommes ou des rapports.

72. La dérivée d'une fonction peut servir à reconnaître dans quel sens varie cette fonction à partir d'une valeur quelconque de la variable dont elle dépend; ce qui est souvent utile. En effet, en désignant toujours par k et A les accroissements correspondants de .r et F(jr) nous avons trouvé

/tr=/i[F'(x)-hw],

<à étant infiniment petit en même temps que h.

Or si F (a:) n'est pas nul pour la valeur x que Ton considère , w ayant pour limite zéro , finira par être constamment au-dessous de F' (x) et Je facteur F' (x) -h- w sera de même signe que F' (x). Donc k sera de même signe que A, si F' (a:) est positif, et désigne contraire s'il est négatif. Ainsi une fonction croît dans le même sens que la variable pour toutes les valeurs de x qui rendent sa dérivée positive, et en sens contraire pour celles qui la rendent négative.

On reconnaît encore facilement que de deux fonctions, celle-là croît le plus rapidement dont la dérivée est la plus grande.

En effet , soient les deux fonctions F [x)^ f{x)'^ k et l leurs accroissements correspondants à Taccroissement h de Xy on aura

lOO

w et w' étant infininient petits avec h. On lire de là

/./^/,[F'(ar)-/'(j:)-f w-«'],

et puisque Ton suppose P(x) ety'(a!:) inégales, le second membre finira par être de même signe que

Ainsi en supposant, par exemple, h positif, on aura

^>/ si F'(x)>/'(x).

Donc la fonction qui augmente le plus rapidement avec

X est celle dont la dérivée^ par rapport à a:, a la plus

grande valeur.

Y— r 73. Nous avons vu que le rapport fixe — — — était tou-

A. JC§

jours compris entre le plus petit et le plus grand des rapports j9 quelque près qu'ils soient de leurs limites, et,

par conséquent , que ce rapport fixe était compris entre la plus petite et la plus grande de ces limites, qui sont les différentes valeurs que prend la dérivée F'[x) quand x passe de Xo à X. Si donc la fonction F'{x) est continue, c'est-à-dire si elle ne peut passer d'une valeur à une autre qu'en passant par toutes les intermédiaires, il y aura entre Xo et X une certaine valeur dex qui rendra F' (x) égal

à la quantité intermédiaire .= — ^- Désignant cette va-

leur de x par Xi^ on aura ainsi

I^« = F'(x.), ou Y-ja=(X~:r.)r(a:0,

ce qui revient à dire qu'entre les points de la courbe dont les coordonnées sont Xo? J'o et X, Y, il en existe un où la

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. lOt

taDgeate est parallèle à la corde qui joint les points extrêmes.

Remarqua. — Cette formule présente évidemment cette proposition importante démontrée tout à Theure, et que nous énoncerons spécialement :

Une expression dont la dériv^ée par rapport à x est nulle, quel que soit x, est nécessairement constante, cjsst-à^dire indépendante de x,

74. L'équation - = F' (a:) -h « démontrée, quelle que soie la fonction F, peut^e mettre sous la forme

M désignant une fonction finie de or et de A qui tend vers F'(j:) quand h tend vers zéro.

Si, dans cette fonction M, on changeait x en x + ^i , elle subirait un accroissement qui , d'après la proposition générale, serait de la forme Mi Aj , M» désignant une fonction de or, A et Al qui reste finie, quelque petits que soient h et A|. Si Ton désigne par A*i Taccroissement que subit alors ft, on aura

Si de même on change x enx+ht dans Mj , il croîtra d^une quantité de la forme Mt At , M « étant une quantité finie dépendante de jr , A, Ai, A,; désignant par ht l'accroissement de Xr n , on aura ainsi

^2 =: Mj A/ii /ij.

Et Ton pourrait continuer de même indéfiniment.

Si l'on suppose que les accroissements successifs donnés

à X soienl égaux, on aura

çt ainsi de suite indéfiniment.

On arriverait ainsi à cette proposition générale :

Un accroissement d>un ordre quelconque d/une fonction, correspondant àun accroissement constant à chaque opération y et infiniment petit du premier ordre, de la i;«riahle dont elle dépend^ est un infiniment petit dHun ordre égal au nombre de ces opérations.

75. Ces accroissements de différents ordres peuvent fa,cilement être représentés géométriquement par la considération de la courbe dojit x e% j seraient les coordonnées.

Soient M {fig. 29) un quelconque de ses points,

A = PP' = F P" = P' r" = . . . ,

M', M'^, M'^, etc., les points de la courbe correspondants aux points P', F', P''', çtc. En prolongeant la corde MM' jusqu'à l'ordonnée suivante e^I, on aurait, en menant ]V|H, M'H', etc., parallèles à AX,