M/H = /, IH' = M'H

Mais M''H' n'est autre chose que l'accroissement dej' eii partant de x-\-h\ donc il est ce que devient /: quand on y change a: en xH- A , et , par conséquent, M" H' — M' H ou — IM" sera l'accroissement [de A, que nous avons désigné par kx.

Si l'on prolongeai-! maintenant M' M'' jusqu'à l'ordonnée suivante, on aurait une ligne correspondante à IM"', qui serait la valeur de ki , dans laquelle on changerait x en x-t- A, puisqu'on ferait les mêmes opérations en partant de M', que l'on avait faites en partant de M. On au-' rait donc l'accroissement de k^ ou /tj, en retranchant ces

DBS QUANTITÉS CONSIOB&KES GOMME MHITES. Io3

deux lignes en les aiTectant du signe convenable, et Ton formerait ainsi les accroissements des divers ordres successifs.

On pourrait prendre une autre représentation géométrique d'une fonction et de ses différences successives Ar, Al, fts,.,. : par exemple, supposer que a: représente la longueur de Tare d'une courbe et y le rayon vecteur correspondant, ou l'inclinaison de la tangente, ou toute autre grandeur dépendante de la longueur x de l'arc; on ferait croître l'arc par degrés égaux entre eux , et Ton considérerait les valeurs correspondantes dey sur lesquelles on ferait les opérations que nous venons d'indiquer dans le système de coordonnées rectilignes ; mais les représentations géométriques seraient beaucoup moins simples.

Du problème réciproque,

76. Dans ce qui précède , nous avons supposé que tous le3 points d'une courbe étaient donnés, soit par une équation, soit par un mode quelconque de génération , et nous nous proposions de trouver la tangente en un quelconque de ces points. On pourrait réciproquement se donner l'équation générale ou un mode de génération de toutes les tangentes a une courbe inconnue, et se proposer de déterminer le point de la courbe qui se trouve sur une quelconque de ces tangentes. Ce problème inverse se résoudra au moyen de la remarque suivante.

Le point de contact d'une tangente à une courbe quelconque est la limité de son point de rencontre avec une tangente infiniment voisine.

Soient, en effet, TMT' (fig. 3o) une tangente fixe, M son point de contact. M' un point de la courbe, infiniment voisin de M ,^UM' la tangente en M' et I son point de rencontre

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avec Ï'T. La corde MM' tend vers zéro lorsque M' tend vers sa limite M, et c'est le plus grand côté du triangle MIM' ; car, d'après la définition de la tangente, la sécante MM' tendapt vers zéro fait avec la tangente en M ou M' un angle dont la limite est zéro; l'angle 1 opposé a MM^ tend donc vers de^x droits , et le^èté MM', opposé au plus grand angle, est le plus grand du triangle. La disrtance IM, plus petite que MM', tend donc vers zéro 5 et, par conséquent, le point fixe M est la limite du point de rencontre I de la tangente en M avec une tangente infiniment voisine.

De là résulte la solution du problème, qui consiste à déduire tous les points d'une courbe de la connaissance de toutes §es tangentes, Pour cela , on considérera Tune quelconque de ces dernières , et Ton chercbera sa rfencontre avec une tangente vaisine d'après les équations connues de ces lignes, ou d'après la loi donnée de leur construction ; on déterminera la limite de ce point lorsque la seconde tangente s'approche indéfiniment de la première^ on connaîtra ainsi le point de la courbe qui se trouve sur une tangente quelconque : le problème revient donc alors à une recherche ordinaire de lieu géométrique.

Il est bien certain que, si l'on admet qu'il y ait une courbe tangente au sysième des lignes données, on la trouvera par le procédé que nous venons d'indiquer. Mais, si Texistence de cette courbe n'était pas admise, il est facile de reconnaître que celle que l'on obtient sera effecr tivement tangente à toutes les droites du système qui auront des points communs avec elle. En effet, considérons deux de ces droites telles, que dans le passage continu de l'une à l'autre chacune rencontre toujours celle qui suit, quelque voisine qu'elle en soit ^ faisons passer une courbe par tous les poii^is de rencontre successifs de chacune

DES QUANTITÉS CONSIDÉHÉES COMMB LIMITES. Io5

d'elles et de celle qui la suit; cela peut se faire d'une infinité de manières : il suffira que la forme d'équation choisie renferme assez de constantes indéterminées. Or chaque droite est coupée par celle qui la précède et par celle qui la suit en deux points qui sont d'autant plus près du point du lieu limite, que les droites sont plus voisines; la distance de ces deux points où la corde interceptée par la droite dans la courbe variable peut donc devenir moindre que toute grandeur donnée , et , par conséquent , les droites du système sont aussi voisines qu'on voudra d'être tangentes à la courbe .variable. Donc enfin la limite de cette dernière , ou le lieu des points limites est langent à toutes les droites.

Cette proposition est un cas particulier d'une plus générale que nous traiterons avec plus de détail par la suite.

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