APPLICATION DES MÉTHODES PRÉCÉDENTES A QUELQUES EXEMPLES
77. Parabole, — En la rapportant à son axe et à la tangente au sommet, son équation est
la valeur de la sous-tangente TP {fig* 3i) a pour expression , d'après la formule générale ,
TP=rlim. -.
Pour trouver li m. -r> il faut exprimer que Téquation de
la courbe est satisfaite par x-^h^ y + h^ ainsi que par X , y, ce qui donne
jr^^T^pxy {y-\- kyz=2p(a:-hh),
et , en retranchant les termes égaux ,
2/74-^' = 2ph,
Divisant par k , il vient
en prenant les limites des deux membres
2r = 2/?lim. -r? d'où lim. 7 = — A' f( p
Donc
DES QUANTITÉS CONSID£ttÉES COMME LIMITES. lO^J
La sous-tangente est donc double de Tabscisse du point
de contact;, ce qui donne une construction très-simple de
la tangente.
Si au lieu de la sous-tangente on cherche T angle MTX ,
on aura
k p tangMTX = lim. - = -•
De sorte que si l'on prend PN = p , T angle cherché sera égal à PMN ; la tangente sera donc perpendiculaire à MN. Cette dernière ligne est donc la normale, et la sous-normale est constante et égale k p\ ce qui donne une construction simple de la normale et, par suite,. de la tangente.
78, Supposons maintenant la parabole rapportée à sa directrice et son foyer F. Les coordonnées seront un rayon vecteur et une abscisse , et l'équation sera
On aura alors k = h, et en prenant deux quantité» ^ales quelconques PH , MQ , et élevant en H et Q <Jes perpendiculaires à AX , FQ , on aura un point S de la tangente. On voit que la ligne MS partage en deux parties égales Fangle de FQ avec une parallèle MI à Taxe, vu l'égalité des deux triangles SMQ, SML Cette propriété donne une autre construction fort simple de la tangente,
79. Ellipse et hyperbole, — L'ellipse rapportée à se* axe$ a pour équation
Pour avoir la limite du rapport 7? on remplacera or et j par x + h, J -h k^ et , en retranchant les doux
équations , on aura
et, en divisant par h ,
{ia^ y + aH)^^'^ ib^ X + b^ h=z o.
Prenant les limites de tous les termes , on aura , d'après le principe fondamental des limites,
d'où
tù désignant Tangle de la tangente avec l'axe des a:.
Le même calcul, fait en partant de 1 équation de Thyperbole à^y — i* x' = — a* i* , donnerait évidemment
tangw =r — .
80. Considérons maintenant Fellipse rapportée à ses deux foyers 5 son équation sera
^ r-f-r' = 2fl,
et l'on aura
Si donc on prend sur FM prolongé {fig» 82) une quantité arbitraire MH 5 que de M vers F' on prenne une quantité égale MK; qu'en H et K on élève des perpen-^ diculaires à FM, F'M, et qu'on joigne leur point de rencontre S au point M, on aura la tangente à l'ellipse. Il est évident qu'elle partage l'angle HMF' des rayons vecteurs en deux parties égales..
DES QUANTITÉS CONSIDEBEES COMME LIMITES. lOg
S'il s'agissait d'une hyperbole, on aurait
on devrait donc alors porter au delà de M une longueur MK' = MH et élever en H et K' des perpendiculaires aux rayons vecteurs, puis joindre leur point de rencontre S' au point donné M, et Ton aurait la tangente. On voit qu'elle divise l'angle HMK' en deux parties égales.
81. Exemple de coordonnées angulaires, — Considérons maintenant le système de coordonnées où un point M (fig. 33) est déterminé par les angleà a, 6, que les droites menées de ce point à deux points fixes A , B forment avec ÂB, et prenons l'équation simple
qui représente un segment capable du supplément de a^ et décrit sur la corde AB. On aura alors
et l'on devra prendre (n*' 67) deux longueurs MP, MI,
„ MP sina MB , . ,,
telles, que -— - = -r-r = zrz-r'i et de construire sur eues ' ^ MI sm6 MA
un parallélogramme MPSI \ la diagonale MS sera la tangente. Or les deux triangles AMB, MIS, ayant im angle égal compris entre côtés proportionnels, sont semblables; d'où il suit que Tangle IMS est égal à a , et que MSI ou TMA est égal à 6.
La tangente fait donc avec chacun des côtés MA^ MB un angle égal à celui que l'autre fait avec la base AB, comme cela est évident par la mesure des angles.
82. Spirale d'^rchimède. — Soient OX (fig^ 34) la direction à partir de laquelle on compte les angles ©5 O le
I lo LIVRE I.
pôle, M un point quelconque de la courbe, OM = r, et a une ligne donnée^ l'équation de cette courbe est
Tangle OMT de la tangente avec OM est donné par la formule générale
tartgw r= /•lim. -•
Or, d'après l'équation delà spirale, on a
k ■=iah\ donc, iù étant OMT,
langOMT — - = ô.
Si Ton mène la normale MN et la perpendiculaire NOT à OM, les lignes OT, ON sont, dans le système des coordonnées polaires , la sous-tangente et la sous-normale : dans le cas actuel , on aura
OT = rtangOMT=rÔ, ON = ^ = ^•
La sous-normale est donc constante, ce qui donne une construction bien simple de la normale et, par suite, de la tangente.
Le rayon vecteur OM augmentant indéfiniment avec 0, et ON restant constant, l'angle OMN tend vers zéro; le rayon vecteur tend donc indéfiniment à être perpendiculaire à la tangente, sans le devenir jamais.
Archimède, au lieu de la sous-normale, avait cherché la sous-tangente; il avait démontré que sa longueur était égale à l'arc de cercle MR décrit de O comme centre avec OM pour rayon, et terminé à l'axe OX, ce qui n'est autre chose que r^ , comme nous l'avons trouvé.
DES QUANTITÉS CONSID£ii1^.ES COMME LIMITES. 1 I I
83, Spirale logarithmique. — L'équation de celle spirale est, en désignant par m une ligne donnée, el par a un nombre que nous supposerons plus grand que l'unité,
e r == ma .
En considérant les valeurs négatives de Q comme devant être portées en sens contraire des positives, on a une infinité de spires convergeant vers le point A (fig. 55) , qu on nomme pour cela asymptô tique. Les valeurs positives de B donnent une infinité de spires qui s'agrandissent indéfiniment. Pour avoir Tangle AMT de la tangente avec le rayon vecteur AM, il faut chercher la limite du rapport des accroissements k et h de r et 9, et diviser r par cette limite.
Or on a
- = ma . — , h h
et nous avons fait voir (n*^ 36) que la limite d'une expression de la forme > lorsque u tend vers zéro, est p-fe- •
u ^ loge
Il en resuite que lim. — — = p^- = /a, en désignant par
la caractéristique / les logarithmes pris dans la base de
Néper; et, par conséquent , lim-T == 'wa la.
On aura donc
tangAMT = 7—; i .a
ainsi tous les rayons partant de A sont également inclinés sur la spirale.
Exemple ou F on n'emploie pas l'équation de la courbe
84. Cycloïde. — D'après la génération de celte courbe^ nous avons vu (n^ 37) qu'il fallait , pour en avoir uu
J 12 LIVRE lé
point quelconque M (Jîg. 1 1) , prendre à partir de son origine A une longueur arbitraire AT, tracer le cercle générateur tangent en T à l'axe AB et prendre l'arc TM égal à AT. Ces deux lignes AT et TM constituent bien un système de coordonnées, dans le sens le plus général du mot, et l'équation dé la courbe serait TM = AT ; mais les équations seraient si compliquées en l'employant pour d'autres courbes, que nous n'avons pas du le considérer dans les méthodes générales eifposées précédemment.
Nous avons vu encore que, pour passer du point M à un autre point M', il suffisait de prendre sur le cercle TM un arc MI , mener par I une parallèle à AB et prendre IM' = MI .
Cela posé, menons les cordes MI , MM'^ la tangente en M à la cycloïde sera la limite de la direction MM'; et la limite de la direction MI sera la tangente au cercle TM. Mais dans le triangle MIM', le rapport des sinus des
angles en M, M' est celui des côtés MI, IM' ou ^^p ; et la
Ml
limite de ce dernier ne sera pas changée si l'on remplace
la corde MI par l'arc de cercle sous-tendu, dont le rap-
port à la corde a pour limite l'unité. Mais — = = i :
^ ^ arc MI
donc la limite du rapport des sinus de M et M' est i , et
par conséquent les limites des sinus sont égales -, et
comme l'angle I de ce triangle a pour limite celui de la
tangente en M au cercle avec MB, il en résulte que lis
limites des deux angles M, M' sont égales à la moitié du
supplément de ce dernier, ou à Tangle UMQ. Donc MU
est la tangente, et MT la normale.
85. Conchùïde, — Supposons que d'un point donné A [fie' 2^) ^^ niène à un point quelconque M d'une courbe donnée une droite sui' laquelle on porte une longueur
DES . QUANTITES CONSIDÉEÉBS COMME LIMITES. Il3
constante MN, on formera une nouvelle courbe; on propose de lui mener la tangente NU en un point quelconque N, connaissant la tangente MT au point correspondant M de la première.
Soient M', N' deux points correspondants des deux courbes , infiniment voisins de M et N ; il s'agit d'avoir la limite de la direction de la droite NN'5 décrivons de A comme centre les ajcs MH, NK; comme M'K' = MN, on aura HM'=KN'. Dans les triangles rectilignes MM' H, NN' K, les angles H, K ont pour limites des angles droits ; Tangle M' a pour limite TMA, N' a pour limite UN A , et c'est ce dernier qu'il faut déterminer.
Or on a
sinN^ NK sin M^ MH iïSN"""KN'' sin M "^ HM' '
d'où
NK : MH : : AN : am ,
sinN sin M et passant aux limites ,
UngUNA : tangTMA :: AN : AM.
Connaissant tangUNA, on construira facilement la tangente NU.
Lorsque la courbe donnée se réduit à une ligne droite XY, la seconde devient celle qu'on appelle conchoïde, imaginée par Nicomède pour la construction du problème des deux moyennes proportionnelles. Dans ce cas, l'aqgle TMA (fig. ^j) est XMA, et sa tangente est
y AB étant perpendiculaire sur XY. La proportion
BM
précédente devient alors
tangUNA : ^S -' ^^^ • ^^^' •' ^Q • ""^'^
dM
1 l4 LIVRE X-
d'où
tangUNA = ^.
Si donc on prend BE = AQ , BME sera Tangle cherché UNA.
86. Cjssoïde, — Soient AB (Jig> 38) le diamètre d'nn cercle donné*, BU sa tangente en B; AV une sécante quelconque partant de A-, M son point de rencontre avec le cercle. Si l'on prend "VN = AM , le lieu des points N est la cjssoïde de Diodes, que ce géomètre d'Alexandrie imagina encore pour le problème des deux moyennes.
Soit la sécante infiniment voisine AM'N'V'^ NN' sera la sécante k la cyssoïàe, et sa limite sera la tangente cherchée.
Décrivons de A comme centre les arcs de cercle M'H ^ NI, VK j le point en passant en N'se sera éloigné de A de la quantité KV + MH 5 puis, qu on porte, à partir de l'extrémité "V' qui s'est éloignée de la quantité KV, une longueur moindre que AM de MH.
Dans le triangle rectiligne NIN', l'angle I tend vers un angle droit, et par conséquent les deux autres N, N' vers des limites complémentaires ; il en sera de même dans les triangles MM'H, NN'I, en H et K. Or on a
siD N
IN' HM-hKV HM
