B'B " AB

que -— est infiniment petit ^ que, de plus, —— a pour li-

mite l'unité. De là résulte que -— est infiniment petit,

puisque, par hypothèse , — -— l'est; donc l'angle A' B' A

est infiniment petit : donc, enfin, les droites A'B', ABfont entre elles un angle dont la limite est zéro, et par consé-

. quent leurs directions ont la même limite. Cette propo-

* sition a des applications assez fréq.uentes.'

m . Triangle ayant deux angles infiniment petits du premier ordre. — Soient A et B [fig* 48) les deux angles infiniment petits ; abaissons CI perpendiculaire sur AB; et cherchons d'abord quelle serait la limite de la position du point C , qui est la même évidemment que celle du point I, si on laissait AB invariable pendant que les angles tendraient vers zéro.

Or oti a

AI tang B

Tb """ tang A ^

donc

,. Aï ,. lancB .. B lim. -r- :== hm. — ^ = hm. -- IB ^ tang A A

Si donc on connaît la limite du rapport des deux angles infiniment petits du même ordre, on aura la limite du sommet C, en partageant AB en raison inverse des angles en A et B.

Supposons maintenant que le côté AB soit lui-même infiniment petit du premier ordre, et proposons - nous d'évaluer la différence entre sa longueur et la somme des deux autres côtés.

DES QUANTITÉS ÇONSIDKRKKS COMME J-lMlTfcS. l5l

Or on a

2 AI sin' — 9. BI sin' -

AC— AI= ^ et BC — BI= — ^,

. cos A cos B

et la somme rie ces deux différences est la différence cherchée. Mais chacune d'elles est un infiniment petit du troisième ordre au moins, puisque AI et BI sont moin*

dres que AB qui est du premier ordre, et que sin' — et

sin' - sont du second ordre. On peut même dire qu'elles

sont précisément du troisième ordre toutes deux, dans le cas supposé où A et B sont du même ordre; car alors les deux segments AI et IB sont dans un rapport fini avec AB, et sont par conséquent du premier ordre. // résulte de là que la différence entre AB et AC -+- CB est un infiniment petit du troisième ordre au moins.

Ou, en d'autres termes, cette différence est du même ordre que le cube de l'arc.

L'ordre de cette différence s'élèverait si les angles étaient d'un ordre plus élevé que le côté.

112. Tnangle ayant un angle infiniment petit du premier ordre ^ compris entre deux côtés infiniment pe~ lits du premier ordre. — Soit A [fig- 49) l'angle donné; la somme des deux autres a pour limite deux droits. On peut maintenant faire plusieurs suppositions sur les deux côtés donnés.

Si la limite de leur rapport est finie et différente de l'unité, l'un des angles opposés tendra nécessairement vers zéro, l'autre vers deux droits. Car,* sans cela, le rapport limite de leurs sinus serait nécessairement l'unité, contrairement à la supposition.

Supposons maintenant que la limite de leur rapport soit l'unité. Il peut alors se présenter trois cas.

iSa LivRi: I.

1*^. Si leur différence est du second ordre, prenons AB' = AB', B'C sera du second ordre. Mais BB' est du second ordre à cause du triangle isocèle ABB' qui donne

BB' = 2 AB sin -: ainsi BC sera du second ordre, et le

B'C rapport -— a une limite finie quelconque. Or Tangle B' BC

tend vers un angle droit 5 donc l'angle B'BC, et par suite C 5 a une limite finie qui peut être quelconque et dépend du rapport de CB' à BB'.

2°. Supposons que leur différence soit d'un ordre compris entre i et 2. Alors BB' étant du second ordre, B'C d'un ordre moindre^ et BC le plus grand côté du triangle BB'C , comme opposé à l'angle obtus B' ; il s'ensuit que BC est du même ordre que B'C, et même que leur rapport.a pour limite l'unité, puisque leur différence, étant moindre que BB', qui est du second ordre, est infiniment

petite par rapport à ces lignes mêmes. Le rapport -7-9

ayant zéro pour limite, l'angle C tendra vers zéro, et, par suite, l'angle ABC vers deux droits.

3®. Soit la différence d'un ordre supérieur à 2. Alors

^^a pour limite zéro 5 donc l'angle B' BC a zéro pour limite et l'angle ABC a la même limite que ABB', ou un droit: il en est de même par suite de l'angle C.

Si l'angle A était d'un ordre quelconque m au lieu d'être du premier comme les côtés, il faudrait, dans ce qui précède, substituer 1 -f- m à 2 .

Remarque. — Il est bon de remarquer que dans ces trois cas, c'est-à-dire toutes les fois que le rapport des deux côtés donnés a pour limite l'unité, le troisième est infiniment petit par rapport aux deux autres.