CHAPITRE XVII

COURBURE DES ARCS DE COURBES PLANES QUELCONQUES, ET DIVERSES PROPOSITIONS

QUI" s'y rapportent.

113. La courbure d'un arc convexe est Pangle que formeni entre elles les directions du premier et du dernier élément de cet arc'^ c'est l'angle des tangentes extrêmes : il exprime la quantité dont la courbe a successivement dévié de la ligne droite dans l'étendue de cet arc. Si cet angle variait proportionnellement à Tare , on aurait la courbure, pour, une unité de longueur, en divisant celle d'un arc quelconque par la longueur de cet arc.

Maïs dans une courbe quelconque, si l'on divise cet angle par la longueur de Tare, on» aura seulement la courbure moyenne de cet arc , rapportée à l'unité de longueur, c'est-à-dire celle que Ton trouverait pour un arc égal à l'unité , si la courbure variait proportionnellement à l'arc, comme dans le cercle, et de manière à obtenir la courbure donnée pour une longueur égale à celle de l'arc dont il s'agit.

Cela posé, si, à partir d'un point quelconque d'une ligne courbe, on prend un arc de grandeur arbitraire, sa courbure moyenne variera à mesure que cet arc diminuera indéfiniment 5 et elle tendra vers une limite détermiinée , qu'on appelle courbure de la ligne au point que l'on considère. Cette limite est, pour employer le langage reçu dans le calcul infinitésimal, la courbure d'un arc infiniment petit, rapportée à l'unité de longueur, cet arc commençant au point que l'on considère. C'est une no-

l54 MVI.E T.

tion importante dans l'étude approfondie de la conslilnlion d'une courbe.

114-. Si Ton considère l'inclinaison ç de la tangente sur un axe fixe, comme une fonction de Tare s pris à partir d'un point fixe quelconque de la courbe, la courbure 0) d'un arc h n'est autre chose que l'accroissement de la fonction (f correspondant à l'accroissement h de

l'arc 5^ on a donc

M étant une quantité finie dépendant de la valeur de s relative à la première extrémité de T^rc et de sa longueur h. Et de même pour une fonction quelconque, si l'on changeait ^ en 5 -+- /^i 5 et qu'on désignât par Wi l'accroissement correspondant de w, on aurait

§i A, = A , on a

et il en serait de même pour les accroissements d'ordre plus élevé, comme nous Tavons vu en général pour toutes les fonctions (n° 74).

H 5. Dans un cercle , la courbure d'un arc quelconque s'obtiendrait en multipliant celle d'un arc égal à l'unîté par la longueur de Tare donné. Dans une courbe quelconque, il n'en sera plus ainsi évidemment *, mais si l'on ne considère qu'un arc infiniment petit, le produit de la courbure, en une de ses extrémités, par sa longueur, en donnera la courbure à une quantité près, infiniment pe-» tite par rapport à elle, puisque le rapport de la courbure exacte de cet arc à l'arc même ne diffère que d'une quantité infiniment petite de la limite que nous appelons courbure en un point. De sorte que si cette courbure d'un arc infiniment petit ne doit être considérée que comme élément d'une somme dont on cherche la limite, il nV

DES QUANTITÉS CONSiOÉRÉES COMME LIMITES. l55

aura aucune erreur dans le résultat^ et par conséquent, dans la recherche de la courbure d'un arc fini, d'une courbe quelconque, on peut agir de la même manière que si c'était un cercle, pourvu qu'on partage cet arc en parties infiniment petites , et que pour chacune d'elles on prenne pour courbure de l'unité de longueur la courbure en un quelconque de ses points.

116. Le cercle ayant une courbure constante, il est naturel de le prendre pour terme de comparaison , et de faire connaître la courbure d'une ligne en un de ses points , en donnant le rayon du cercle dont la courbure est la même. Ce cercle se nomme cercle de courbure, et son rayon, rayon de courbure. Si on le place tangentiellement à la courbe au point que l'on considère, en tournant sa concavité du même côté qu'elle, son centre, considéré relativement à ce point de la courbe, prend le nom de centre de courbure,

La courbure d'un cercle en un de ses points , ou la courbure d'un arc de ce cercle égal à l'unité étant le rapport de l'angle de ses tangentes extrêmes ou de ses normales extrêmes à la longueur même de cet arc , sera égal l'unité divisée par le rayon du cercle, puisque nous appelons angle le rapport de l'arc au rayon. Il s'ensuit donc que la courbure d une ligne quelconque^ en un de ses points^ est égale à V unité dii^isée par le rayon de courbure en ce point .

m. Le centre de courbure est la limite du point de rencontre de deux normales infiniment voisines. — Soient , en effet, M (/zg^. 5o) un point quelconque d'une courbe, MT la tangente, M'IN la tangente au point infiniment voisin M', O le point de rencontre des normales en M, M', Les quatre points M, N, M', O seront sur un cercle ayant pour diamètre NO , dont la limite est la même que celle de MO ou M'O. L'arc de ce cercle compris entre M et M'

l56 L1VREP-.I.

dilïère de $a corde, et, par suite, de Tare MM' de la courbe, d'une quantité infiniment petite p'Sir rapport à lui-même ^ on pourra donc le remplacer par ce, dernier, sans qu'il en résulte aucune erreur dans lés limites des rapports.

Mais Tangle inscrit MOM' est égal à Tare de cercle intercepté divisé par le diamètre : il est d'ailleurs égal à

TNM' I

TNM'. Donc — — -— > = ^^^^ l'arc MNM' étant celui du arc MNM' NO

cercle. Le remplaçant par l'arc MM' de la courbe , on

aura , en passant aux limites,

,. TNM' 1 1

MM' lim.NO lim.MO

Mais lim. -7—7 étant la courbure en M est éeale à Funilé MM ^

divisée par le rayon de courbure.

On voit donc que la limite de MO est égale au rayon de courbure 5 et le centre de courbure en un point quelconque est ta limite du point de rencontre de la normale en ce point ai^ec la normale infiniment voisine,

118. Les courbures des deux moitiés d'un arc infini-^ ment petit de premier ordre ^ ne peuv^ent différer que d'un infiniment petit du second, — Car si h désigne la longueur de cet arc et w', w" les courbures des deux moitiés 5 ou aura

«'=rM^,

M étant une quantité finie. Mais iù" n'étant autre chose que la valeur que prend w' quand on change dans M, s

en s-\ — 5 on aura , par ce qui précède ,

DES QUANTITES CONSIDEREES COMME LIMITES. l57

M' étant une quantité finie. On voit donc que les courbures des deux moitiés d'un arc infiniment petit du premier ordre ne peuvent différer que d'un infiniment petit du deuxième ordre.

H9. La différence entre un arc infiniment petit et sa corde est du même ordre que le cube de Varc, — En effet, Tare étant compris entre la corde et la somme dés tangentes extrêmes , diffère de l'une ou de l'autre de ces deux quantités, moins qu'elles ne diiïèrenl l'une de l'autre.

Or les angles de la corde avec chacune des tangentes étant moindres que celui des tangentes entre elles , lequel est du même ordre que l'arc, sont au moins de cet ordre infinitésimal. On a donc un triangle dont un côté est infiniment petit, et les angles adjacents sont du même ordre au. moins que ce côté; d'où il suit (n*^ Hl ) que la différence de ce côté à la somme des deux autres est au moins du même ordre que le cube du côté , ou de Tare qui est du même ordre que le côté. Il en eist donc ainsi , à plus forte raison , de la différence de l'are à la corde ou à la somme des tangentes. Ces différences seront du troisième ordre, si Tare est du premier.

120. La différence d'un arc infiniment petit à la tan^ gente menée à l'une des extrémités de l'arc et terminée à l'ordonnée menée par r autre, est de l'ordre du carré de Varc.

Soit l'arc MM' {fig- 5i), MT sa tangente terminée à Fordonnée P'M'-, il s'agit d'évaluer Tordre infinitésimal de la différence entre MT et cet arc.

Remarquons d'abord en général que la portion M'T de V ordonnée est du second ordre. Car on a la proportion M'T sin.M j, ^ ,.,^ MM' sin M

--— r en ", — --: doÙ M'T = ; —

Mir sm T ' sm T

Mais nous avons vu que l'angle M est au moins du même

l58 LIVRE I.

ordre que Tare ou la corde MM' et slii T est fini ; donc la partie M'T d'une sécante quelconque faisant un angle fini avfcc la tangente est de V ordre du carré de MM' ou de l'arc proposé.

Si maintenant on abaisse M'I perpendiculaire sur MT, MI différera de Thypoténuse MM' d'un infiniment petit de Tordre du cube de MM' au moins (n° 109) , de plus IT est de l'ordre du carré de MM', puisqu'on a

IT=: M'TcosT,

et IT, étant la différence de MT à MI, est la différence de MT à l'arc MM' en négligeant un infiniment petit de l'ordre du cube de MM'-, d'où il suit, comme nous l'avons annoncé, que cette dernière différence est de l'ordre du carré de l'arc. Elle sera donc du second ordre si l'on prend l'arc du premier.

Il en serait de même pour la tangente menée au point M' et terminée à Tordonnée MP. L'une de ces tangentes est plus grande que l'arc , l'autre plus petite.

121. Remarque. — On peut conclure de ce qui pré* cède que les longueurs des deux normales en M, M' terminées à leur point de rencontre O diffèrent d'une quantité qui est au moins du second ordre. Car cette différence est la partie d'une de ces normales, comprise entre le point M' et le cercle. décrit de O comme centre avec OM pour rayon. Or ce cercle étant tangent à la courbe en M, il suffit d'appliquer la proposition qui vient d'être démon^ trée sur M' T. La différence des normales est donc au moins du second ordre. Nous pourrions pousser l'appréciation plus loin.

On peut tirer de là une conclusion qui a quelquefois de l'uliHté dans les problèmes de géométrie : oTest qu'une courbe dont les normales passent toutes par un même point, est nécessairement un cercle. En effet, en parta-

gcant un arc fini de la courbe en parties infiniment petites du premier ordre, les accroissements successifs des uorniales, comptées à partir du point constant de leur rencontre , seront du second ordre, et la limite du rapport de la somme de ces accroissements à la somme des arcs sera zéro. Donc l'accroissement total de la normale est nul, et tous les points du lieu sont également distants du point fixe. Ce lieu est donc un cercle , dont le point fixe est le centre. ,

122. Considérons un arc infiniment petit a, appartenant à une courbe quelconque, dont les arcs pris à partir d'une origine fixe sont désignés par 5^ partageons-le en parties égales «, infiniment petites du second ordre, si a est

regardé comme du premier 5 ce qui veut dire que ~ tend

vers une limite finie, lorsque a tend vers zéro. Désignons par («)la courbure d'un quelconque de ces arcs a, on aura

cj = Ma ,

M désignant une quantité finie.

Comparons maintenant les valeurs extrêmes w', «" de co. Pour avoir co' il faudra , dans M, mettre pour s la valeur correspondante à la première extrémité-, pour avoir w'' il faudra changer s en 5 H- A, h n'étant autre chose que a — a, et par conséquent du premier ordre. M croîtra donc d'une quantité du premier ordre , que l'on pourra désigner par Mi«, Mi restant fini; d'où il suit w" — w' = M|aa.

Ainsi la différence des courbures des arcs extrêmes ol est du troisième ordre.

123. Expression de la perpendiculaire abaissée d'une extrémité d*un arc infiniment petit sur la tangente we- 7iée à Vautre extrémité»

t6o LIVRE i.

Soit OB [fig. 52) la tangente, à l'extrémité O de Tare OA = a infiniment petit du premier ordre, et AB la perpendiculaire , dont nous allons chercher l'expression en fonction de la longueur a de l'arc et de sa courbure fl, en nous assujettissant à ne négliger que les infiniment petits du troisième ordre. Pour cela nous décomposerons a en parties égales a infiniment petites du second ordre, dont le nombre m croîtra indéfiniment à mesure que a tendra vers zéro.

La relation

donne

la a

— = - 9 ou m =-', ma a.'

de sorte que — est infiniment petit du premier ordre , et

am ou — est une quantité unie.

Cela posé, soit MN un quelconque des arcs a qui composent OA, et correspondant à OM=«a; formons le triangle MNI au moyen de la corde MN , de la parallèle MI à OB et de la perpendiculaire NI \ AB sera la somme des m valeurs que prendra NI quand n prendra les m valeurs o, i, 2v-î {"^ — i)-

C'est-à-dire que Ton aura

AB = 2 MNsinNMIj

cette somme se rapportant aux m arcs égaux qui composent OA. Remarquons d'abord que, si dans l'expression générale de l'élément MN sinNMI, on considère un terme infiniment petit de l'ordre ;;, il fournira dans la somme un terme de l'ordre p — i . En effet, on peut le représenter par Ka'', K étant une quantité finie variable. La somme des m valeurs qu'il prend est égale à la somme des facteurs af multipliée par une moyenne Kj entre les premiers fac»

DES QUATfTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. l6l

leurs A^, c'est-à-dire à mKi a^. Ce qui est évidemment de l'ordre p — i, puisque ma est une quantité finie. Procédons maintenant au calcul de la somme en question, en négligeant dans sa valeur totale les quantités infiniment petites du troisième ordre.

Nous voyons d'abord qu'à ce degré d'approximation nous pouvons substituer Tare a à sa corde MN, car leur différence est de l'ordre de a'-, c'est-à-dire du sixième, puisque a est du second : et comme l'angle NMI est moindre que l'angle a que la tangente en M fait avec OB, augmenté de la courbure w de MN , et à plus forte raison moindre que il qui est du premier ordre, on voit qu'en prenant a au Meu de la corde MN, on néglige dans l'expression générale de NI une quantité du septième ordre, au moins. Or, d'après la remarque précédente, elle ne pourra donner dans la somme qu'une quantité du sixième ordre : on peut donc la négliger au degré d'approximation que nous nous sommes proposé, et prendre pour valeur de AB l'expression

2 a sin NMI.

On peut encore la simplifier en remplaçant "sinNMl par l'angle NMI -, car leur différence étant du troisième ordre, son produit para sera du cinquième, ce qui ne produirait sur AB qu'une erreur du quatrième. Dontnous pouvons prendre pour INI l'expression plus simple

a. NMI.

Et même nous pouvons remplacer NMI par (p dont il diffère d'un angle moindre que la courbure de MIN qui est du second ordre*, car nous négligeons ainsi dans a. NMI une quantité du quatrième ordre qui ne pourrait affecter AB que d'une erreur du troisième ordre, que nous devons I. II

négliger. Ainsi, au degré d'approximation demandé, nous pouvons prendre

AB = 1 ya.

Il faut maintenant exprimer y au moyen de Tare 0M= na, afin de pouvoir effectuer cette sommation.

Cet angle (f n'est autre chose que la somme des courbures 0) des n premiers arcs a ; et si elles étaient toutes égales à la courbure w' du premier, (f serait égale à ww'. Or il est facile de voir qu'on peut les considérer ainsi, au degré d'approximation demandé.

En effet, d'après le n° 122, une qjjelconque des différences 0) — w' est un infiniment petit du troisième ordre. Ainsi la différence de (f k n(à' est égale à n quantités du troisième ordre, et peut se mettre sous la forme A/za', A étant fini ; or cette quantité est moindre que Ama^ qui est du second ordre , puisque ma est fini ; donc A/ia* est au moins du second ordre. En prenant donc ^ = nw', l'erreur est du second ordre, et ^a est en erreur d'une quantité du quatrième, qui ne produira sur la somme 2 ça qu'une erreur du troisième, que nous devons négliger. Nous pouvons donc nous borner à la valeur beaucoup plus simple

AB = 1/1 aw' z=z oLto' Z /? .

Mais n passant par toutes les valeurs de o à m — i , on a

ffi (m — i)

Donc

AÏS = • = { W — I ) w . — .

DÈS QUANTITES CONSIDÉRÉES COMME LIMITES, l63

Mais ou peut substituer m km — i, vu qu^il i^'en résulte pour AB qu'une errevir du troisièiue ordre : et par les mêmes raisons que précédemment, mtù' rxe diffère de la somme des courbures w des m arcs « que d'une quantité du second ordre. Substituant cette somme fl à w&)', il n'en résultera donc sur AB qu'une erreur du troisième ordre; et au degré d'approximation demandé, on aura enfin