AB

Ce qui donne le théorème suivant :

La perpendiculaù^e abaissée d'une extrémité d'un arc ùijiniment petit du premier ordre , sur la tangente menée à Vautre extrémité j est égale à la moitié du produit de Varc par sa courbure^ à un infiniment petit près du troi-* sième ordre,

124. L'angle formé par la corde d'un arc infiniment petit du premier ordre ^ av^ec la tangente au milieu de cet arc, est un infiniment petit du second ordre.

Soit AA' cet arc, O son milieu , et B'OB la tangente ; la corde AA' fait avec BB' un angle dont le sinus est égal à la différence des perpendiculaires AB , A'B', divisée par la corde. Soient iî,iî'les courbures des deux moitiésOAjOA', on aura, d'après le numéro précédent, en désignant par 2 a la longueur de l'arc 'A A',

ABrr: , A'B'=: ;

et, par suite,

AB — A'B' = (a--il').-

Or nous avons vu (n^ll4) que la différence des courbures de deux arcs égaux consécutifs^ infiniment petits

du premier ordre , est du second ; donc XI — 11' est du second ordre 5 et, par suite , la différence AB — A'B' est du troisième, son rapport à A A' est donc du second. Ainsi le sinus de l'angle de AB avec la tangente au milieu O de Tare sous-tendu est du second ordre -, et par conséquent aussi cet angle lui-même est infiniment petit du second ordre , comme nous l'avions annoncé.

125. Remarques diverses. — Les perpendiculaires AB, A'B' étant du second ordre, celle qu'on abaisserait du milieu I de A A' serait aussi du second 5 il en serait de même évidemment de la perpendiculaire élevée de I sur AA' et terminée à BB', ou à la courbe : et encore de la perpendiculaire abaissée de O sur AA\

Remarquons encore que dans le triangle rectangle OAB le côté OB et Tangle O étant du premier ordre, la différence de l'hypoténuse OA à OB sera du troisième ordre. Donc aussi la différence de rare OA à OB sera du troisième ordre,

— Si l'on avait en O {Jîg. 53) une seconde courbe tangente à la première et ayant même courbure en ce point, et que Ton prit un arc OAi =0A, la perpendiculaire

A,Bi serait, au troisième ordre près, égale à -^ ? îî,

étant la courbure de l'arc OAj dont le rapport à iî a l'unité pour limite par hypothèse. Donc la limite du rap-

A B port -j^ est l'unité, et, par conséquent, la différence

de Al Bi à AB est infiniment petite par rapport à AB, et, par conséquent, d'un ordre supérieur au second.

De plus, on voit que BBj sera au moins du troisième ordre, puisque c'est la dilïérence de OB et OBj qui diffèrent des arcs égaux OA , OA, de quantités du troisième ordre. Il en résulte que AAi est l'hypoténuse d'un triangle dont un côté est d'un ordre supérieur au second, et l'autre

DES QUANTITÉS CONSIUÉEÉES COMME LIMITES. l65

au moins dii troisième, et, par conséquent, ÂAi est d'un ordre supérieur au second.

Il est encore important de remarquer que la longueur d'une corde AS comprise entre deux courbes ayant même courbure en O , et dont la direction limite fait un angle fini avec la tangente commune en O, est d'un ordre supérieur au second. Car on a ^

smS et comme sin S reste fini , AS est au moins du même ordre que A Al.

Ainsi , par exemple , si l'on considère le cercle de courbure d'une courbe quelconque, qu'à partir du point de contact on prenne un arc infiniment petit du premier ordre, et que de son extrémité on mène une sécante faisant un angle fini avec la tangente^ la partie comprise entre les deux courbes sera d'un ordre supérieur au second.

126. Si l'on mène une tangente parallèle à la corde AA', l'arc MT [fig* 53) compris entre son point de contact T et le milieu M de l'arô, ayant pour courbure l'angle de ses tangentes extrêmes, qui est le même que celui de la corde et de la tangente au milieu , sera infiniment pei^t du second ordre , comme ce dernier ; d'où résulte cette proposition :

Uarc compris entre le milieu (Vun arc infiniment petit du premier ordre et le point de contact de la tangente parallèle à la corde de cet arc est infiniment petit du second ordre.

Si sur le milieu I de la corde AA' {fig> 54) ou élève une perpendiculaire, elle rencontre l'arc en un point P, également distant de A et A'. Or chacune des cordes égales AP, A' P ne différant de Tare qu'elle sous-tend

l66 MVRE I.

que d'un infiniment petit du troisième ordre , les deux arcs AP, A'P ne peuvent avoir entre eux qu'une diflerence du même ordre. Mais cette différence est le double de PJVl , puisque M est le milieu de l'arc entier : donc MP est infiniment petit du troisième ordre.

Ainsi :

iMT est infiniment petit du second ordre-,

MP est du troisième 5

et, par suite, TP est du second.

127. Si l'on joint le point I aux points M , T, et qu'on mène les cordes PM, TP, la première sera du troisième ordre et la seconde du second, comme leurs arcs respectifs.

Or nous avons vu que IP est du second : donc V angle PIM est infiniment petit {n° HO). Mais dans le triangle TiP les côtés TP, PI étant du même ordre, le rapport des sinus des angles opposés a une limite finie, et, par conséquent, ces deux sinus ont des limites finies ou tendent tous deux vers zéro. Or ce dernier cas ne peut arriver : car îl faudrait pour cela que le troisième angle en P lendit vers deux droits ou vers zéro, ce qui n'est pas, puisque la direction TP est infiniment voisine de celle de la tangente en M, et, par conséquent, de celle de A A', à laquelle IP est perpendiculaire j donc r angle TIP a une limite finie

Ainsi, en joignant le milieu de la corde au milieu de Tare et au point oitla tangente est parallèle à la corde, on a deux directions y dont la première a une limite perpendiculaire à la corde ^ et la seconde, oblique,

128. Les angles formés parles tangentes aux extrémités duh arc infiniment petit auec sa corde, peuvent être regardés comme égaux, et les tangentes comme égales, en négligeant les infiniment petits du second ordre.

Soient AA' [fig> 55) un arc infiniment petit du premier ordres AV^ A'V ses tangentes extrêmes, dont l'angle

DES QUANTITES CONSIUKREES COMME LIMITES. ^7

extérieur V mesure la courbure de Tare AA'. La tangente menée au milieu M de cet arc fait avec AV, A' V des angles MTV, MT' V égaux, au second ordre près, comme mesurant les courbures des arcs égaux AM , A'M (n** 118). Or ces deux angles diffèrent des angles respectifs A, A' de r angle même des deux droites Tï', A A', lequel est du second ordre. Donc, comme nous l'avions annoncé, les angles des tangentes extrêmes avec la corde sont égaux à un infiniment petit près du second ordre y et flonnent la mesure de la demi-courbure de Parc, à ce même degré d'approximation.

Cela posé, il est facile de prouver qu'il en est de même des côtés AV, A'V du triangle AVA'. En effet, on a A^V sinA AV ~~ sinA''

et comme la limite de -: — -; est la même que celle de --?» sm A' ' A'

qui est égale à l'unité, il en résulte l.m. — =1.

H est facile d'ailleurs d'apprécier Tordre de la différence A'V — AV. En effet, l'équation précédente donne

2 sm [ 1 ces

A^V^ AV smA — smA' \ 2 / a

ÂV ~" sin A' ~~ sin A'

ce qui est une quantité infiniment petite du premier ordre, puisque {—^ — ) est du second et sin A' du premier. Le

rapport ^ - étant du premier ordre, A'V — AV est

du second.

Donc les longueurs des tangentes extrêmes sont égales, fiu second ordre près.

l68 LIVRE I.

129. Les angles inscrits dans un segment dont Varc est infiniment petit du premier ordre ^ sont égaux , au second ordre près.

Soient Tare AA' (fig^ 56) et un angle inscrit quelconque AMA'. Si Ton mène la tangente TMT', l'angle UMA' sera partagé en deux angles , dont Tun mesure la demi-courbure de A' M et l'autre celle de AM. Donc l'angle UMA' peut être regardé comme constant et égal à la demi' courbure de AA'^ au second ordre près .

L'angle inscrit AMA' est donc aussi constant, au second ordre près.

130. Si sur deux courbes tangentes on prend, à partir du point de contact y des arcs infiniment petits égaux, la droite qui joint leurs extrémités a pour direction limite celle de la norrnale commune.

Soient M [fig. 57) le point de contact, MM' = MM,, et supposons d'abord que les deux courbes soient de côtés différents de la tangente commune. Dans le triangle rectiligne MM'Mj, la différence des côtés MM', MMj, que nous considérerons comme infiniment petits du premier ordre, est du troisième ordre, puisque les arcs sont égaux; de plus, l'angle compris M étant la somme de ceux que chaque corde fait avec la tangente, est aussi du premier ordre (n° 128). Donc les limites des angles M', Mi sont des angles droits (n^ 112), et comme les directions des côtés MM', MMi anl pour limite celle de la tangente en M, il en résulte que la limite de la direction de M'Mi est celle de la normale au point M.

Mais si les courbures étaient dans le même sens , les deux arcs MM/, MMj seraient du même côté de la tangente, et l'angle M serait la différence des deux angles du premier ordre que les cordes font avec la tangente commune. Cet angle pourrait donc être d'un ordre supérieur

DES QUANTITES CONSIDEREES COMME LIMITES. 169

au premier, et nous ne serions plus dans les conditions du n° H2. Or nous avons démontré que ces angles ne diffèrent des moitiés des courbures des arcs , que de quantités du second ordre. Si donc les courbures des deux courbes en M sont différentes, ce qui est le cas général, les deux angles qui mesurent les courbures des arcs MM', MMj diffèrent d'une quantité du même ordre que ces arcs, puisque les limites des rapports de ces angles à la longueur de l^rc sont inégales. Ainsi , en laissant de côté les points particuliers où la courbure est la même, l'angle M sera toujours du premier ordre, et, par suite, les angles M', Mi ont pour limites des angles droits. Donc généralement la limite de la direction M'Mj est celle de la normale commune.

Exemples de la détermination des centres de courbure,

131. Cycloide, — Soit T (Jîg* 58) le point de contact du cercle générateur correspondant au point quelconque M de la cycloïde. Nous savons qu'en prenant sur le cercle un arc infiniment petit MI, menant IM' parallèle à AB et égal à MI 5 puis prenant TT' = MI = IM', le point M' appartient à la cycloïde , et T' est le point de contact correspondant du cercle générateur avec la base.

Cela posé, MT, M' T' sont deux normales infiniment voisines, et la limite de leur point de rencontre N est, d'après ce qui précède , le centre de courbure de la cycloïde, correspondant au point M.

Or, si l'on joint IT et qu'on mène MK parallèle à AB, on aura HK = TT', et on reconnaît facilement que le rapport de MH à MI et, par suite, à TT' tend vers l'unité 5 car, dans le triangle rectiligne MIH , les deux angles I et H ont une même limite finie. En effet, la corde MI a pour direction limite celle de la tangente MU au cercle , et la

direction IHT a pour limite celle de MT j donc l'angle I

du triangle a pour limite TMU. L'angle H du même

triangle, ou son égal THK, a évidemment* pour limite

TMK. Or cet angle est égal à TMU , puisque , d'après les

propriétés connues du cercle, MT est la bissectrice

de UMK; donc la limite du rapport des côtés MH, MI

est l'unité. Il en est donc de même de la limite du rapport

de 1MH à l'arc MI , ou à son égal TT'. Donc la limite du

MK Tv/r . 1 MK

rapport — -, est 2. Mais le rapport — — est constamment

égal à — • Donc la limite de MN est 2MT, et on aura le

centre de courbure O en prenant TO = TM.

Ainsi dans la cycloïde le rayon de courbure est double de la normale,

132. Ellipse rapportée à ses foyers, — Soient F, F' (fig» 59) les deux foyers, a, i les deux demi-axes, cî, ô' les rayons vecteurs d'un point quelconque M de l'ellipse, M' un second point infiniment voisin de M, MO', M'O' les bissectrices des angles F MF, FM'F, qui seront les normales en M , M', Le rayon de courbure en M

MM' sera la limite du rapport —ttt^ puisque l'angle O' des normales est égal à celui des tangentes aux extrémités de l'arc MM'.

Comme nous n'avons en vue qu'une limite de rapports, nous pourrons, d'après les remarques faites précédemment (n° 107) , remplacer les quantités infiniment petites par d'autres , dont le rapport avec elles aura l'unité pour limite, et écrire, comme si elles étaient exactes, les équations où elles entreront. Nous avons démontré

que le résultat cherché li m., —— n'en sera aucunement altéré. Nous donnons ainsi un premier exemple de ce

DF.S QUANTITES CONSIDEREES COMME LIMITES. 1 "^ I

moyen si commode de simplification. Rien ne sera plus facile, au reste, que de faire les mêmes calculs en conservant, comme nous l'avons fait jusqu'ici, l'exactitude absolue des équations.

Les deux triangles F'MI, CIM' ayant un angle égal, la somme des deux autres est la même de part et d'autre-, d'où, en désignant par F' l'angle infiniment petit MF' M', par w l'angle donné F' Mo)', et de même par F et w' les angles MFM',FM'0',

O' — F' = w — w', et de même

O' — F = w' — w ; d'où, en ajoutant,

Ainsi , en désignant par R le rayon de courbure cherché , on aura

,. 2 MM'

Nous allons calculer les angles F, F' dans les triangles FMM', F'MM', en les substituant à leurs sinus-, nous substituerons de même l'arc MM' à sa corde , nous substituerons à la direction de la corde MM' celle de la tangente en M, et aux angles des rayons vecteurs avec MM' les limites de ces angles , c'est-à-dire le complément de w. Les valeurs de F, F' ainsi calculées ne différeront des véritables que de quantités infiniment petites par rapport à elles-mêmes, et, par conséquent, la limite du rapport

MM' , , , -7 ne sera pas altérée.

Nous trouverons de cette manière

MM'cosw MM'cosc)

d'où

„ „, ...., /• i\ aaMM'cosu

et, par suite,

acosw

Or on sait que cosw = -y=:9 et que la longueur ti de

la normale MN a pour expression

D'où résulte

ou, en désignant par/? le demi-paramètre,

Cette formule s'applique également à l'hyperbole et à la parabole.

133. Cette formule donne pour la valeur de R une construction facile; mais on en obtient encore une plus simple en remarquant que la première valeur de R donne pour projection du rayon de courbure sur le rayon vecteur F' M, la valeur suivante :

R ces w =

Or, en divisant les valeurs de 7i et cosw, on obtient

SS' __ fi a cosw

et n'est autre chose que la longueur MH obtenue en

ces w ^ o

élevant NH perpendiculaire sur la normale. Le point H est donc la projection de rextrémité du rayon de courbure ou du centre de courbure. Elevant donc en H une perpendiculaire sur le rayon vecteur F 'M, sa rencontre C avec la normale sera le centre de courbure.

434. Spirale logarithmique. — Soient' M , M' {fig. 60) deux points infiniment voisins, A le pôle, MO, M'O les deux normales en M , M'; il s'agit de trouver la limite du poiptO. Les rayons vecteurs AM,A]VI' étant, comme nous l'avons vu, également inclinés sur les normales correspondantes, les angles A et O sont égaux, et les quatre points A, M, M', O sont sur un même cercle. Mais lorsque M' tend vei#M, ce cercle tend à devenir tangent à la spirale en M , puisque la sécante commune MM' tend vei*s la tangente à la spirale; donc ce cercle à la limite a pour normale MO : son centre est donc sur MO 5 la limite C de O ou le centre de courbure est donc l'extrémité du diamètre de ce cercle dont M est l'autre extrémité. L'angle MAC est donc droit, et on a le centre de courbure en élevant en A une perpendiculaire au rayon vecteur, en cherchant sa rencontre avec la normale.