OB

BB' = B'M-f-BM,

Donc le point M appartient à l'épi cycloïde décrite par le cercle A' roulant intérieurement sur le cercle O en sens contraire du cercle A.

Si donc M est un point lié invariablement aux deux cer( les,le cercle A' tournant dans O sans glisser fera rouler le cercle A de manière que les arcs IB, IB', égaux respectivement à MB, MB', soient entre eux comme les rayons AB, OA-, et, par conséquent, les vitesses angulaires des centres A, A' autour de O seront proportionnelles aux rayons de ces cercles.

2°. Supposons maintenant que le cercle roulant A (fiS' ^^) ^^^^ extérieur au cercle fixe O.

Soit M le point du cercle A qui décrit l'épicycloïde , I sa position primitive sur le cercle O, B le point de contact des cercles A, O 5 les arcs MB, IB seront égaux.

Menons par O un rayon OB' parallèle à AM 5 prenons OA' = AM, et décrivons un cercle de A' comme centre avec un rayon égal à A'B', c'esl-à-dîre égal à la somme des rayons des deux cercles donnés. Ce cercle sera tangent en B' au cercle O-, de plus, il passera par M, puisque la figure MAO A' est un parallélogramme et que, par conséquent, A'M = OA = A'B'.

Cela posé, les angles égaux A. A', O, ayant des mesures égales, on aura

MB BB^ MB^ AB'^ÔB ~"a'B''

et comme le dénominateur du dernier rapport est la somme de ceux des deux premiers, il s'ensuivra

MB' = MB -I- BB' = IB 4- BB'.

Donc le point M appartient à répicycloïde décrite par un point du cercle A' qui roulerait sur le cercle O, du même c6té que le cercle A.

Ou reconnaît facilenient que les vitesses* angulaires dos centres A , A' sont encore proportionnelles aux rayons.

Réciproquement, si A' était le cercle roulant sur le cer-

igO LIVRE A.

clefixe O renfermé dans son intérieur, l'épicycloïde engendrée par un point de ce cercle, pourrait être engendrée par un point du cercle extérieur A, ayant un rayon égal à la différence des deux autres et roulant sur O du même côté que le cercle A^

On peut tirer de là la conséquence générale que toute épicycloïde peut être engendrée par le roulement de deux cercles de rayons diflerents sur un même cercle. Les rayons de ces deux cercles ont une somme ou une différence égale au rayon du cercle fixe, et le point de contact de ces cercles générateurs avec le cercle fixe se déplace en sens contraire si ces deux cercles sont intérieurs l'un à l'autre, et dans le même sens dans le cas contraire.

Comment tout déplacement continu se ramène au roulement d'une courbe sur une autre.

447. Euler a démontré qu'une figure tracée sur la surface d'une sphère pouvait être amenée d'une position quelconque à une autre , sur cette même surface , par un seul mouvement de rotation autour d'un point de la sphère comme pôle.

Cette proposition , indépendante de la grandeur du rayon, s'applique évidemment auj)lan, et d'ailleurs les mêmes raisonnements peuvent être faits directement dans ce cas particulier. On peut l'établir très-simplement de la manière suivante :

Soient A, Al (fig* 69) les deux positions successives d'un même point du système mobile; on amènerait A en* Al en donnant à l'ensemble uu mouvement de translation par lequel chaque point décrirait une droite égale et parallèle à A Ai. 11 suffira donc, après cela, de laisser le point A fixe en Ai pt de faire tourner le système autour de ce point jusqu'à ce qu'un second point arrive à la position qu'il doit occuper. Or ces deux mouvements

DES QUANTITES CO^SIDl^llÉES COMME LIMITES. lOI

successifs peuvent èlre exécutés au moyen d une simple rotation autour d'un point fixe. En effet, menons VA|U perpendiculaire à AA<, et par Ai, deux droites faisant avec VU des angles égaux à la moitié de Tangle dont le système a dû tourner 5 inscrivons entre ces deu?^ droite» les lignes MM', NN' égales et parallèles à AAj. Il est facile de voir qu'après les deux mouvements de translation et de rotation, l'un des deux points M ouN, considéré comme lié au système, est revenu à sa première position. Car si la rotation porte de la direction Ai N vers Ai N/, et, par conséquent, Ai M' vers AiN, il est» évident que le point M, parvenu en M' après la translation, reviendra en M après une rotation représentée par l'angle M' A iM. Et si la rotation était en sens inverse, le point N, amené par la translation en N', sera ramené en N par la rotation.

Il existe donc un point dti vsystème qui se trouve à la même place quand le système passe d'une position à l'autre, et par conséquent ce passage peut être effectué en faisant tourner le système autour de ce point. Il est facile de reconnaître que T angle de cette rotation unique est le même que celui de la première. En effet, supposons que M soit le centre de la rotation finale 5 le point A venant en Al, l'angle de rotation sera précisément AMAi, qui est égal à MAiM', puisque AAj étant égal et parallèle à MM', il en résulte que AM est parallèle à Ai M'.

148. Revenons maintenant au mouvement continu d'une figure sur un plan.

Considérons un nombre indéfiniment croissant de positions infiniment voisines du système entre deux quelconques de ses positions 5 on pourrait l'amener de chacune d'elles à la suivante par une simple rotation autour d'un point fixe. Les centres successifs sont distants le* uns des autres de quantités d'autant plus petites que le»

Ipîk LIVRE I.

positions sont plus voisines , et en les joignant par des droites on forme un polygone déterminé. On peut maintenant considérer les points liés au système mobile, qui viennent successivement coïncider avec les sommets de ce polygone; ils formeront un autre polygone déterminé, mobile avec le système , et ayant ses côtés successifs respectivement égaux à ceux du polygone fixe sur lesquels ils viendront successivement s'appliquer. On peut donc faire passer le système par toutes les positions intermédiaires que l'on a choisies, en faisant rouler un polygone* lié avec lui sur un autre polygone fixe. Concevons maintenant que ces positions se multiplient indéfiniment, on se rapproche de plus en plus du mouvement continu en question; ces deux polygones tendent vers des courbes déterminées, et pat* conséquent le mouvement donné, quel qu'il soit, peut être opéré en liant une certaine courbe au système mobile , en en construisant une autre qui reste fixe, et faisaîit rouler ia première sur la seconde sans glisser, puisque les parties de polygone qui s'enroulent l'une sur l'autre sont constamment égales. Telle est la manière la plus simple de se représenter le mouvement continu d'un système sur un plan ; elle rentre dans le mouvement de roulette que les géomètres avaient d'abord considérée.

, 149. Les centres dés rotations très-petites, ouïes différents sommets du polygone fixe, tendent vers des points limites qui sont ceux de la courbe fixe, et que l'on nomme centres instantanés de rotation; et l'on dit, en employant le langage infinitésimal, que tout mouvement peut être considéré comme composé d'une infinité de mouvements de rotation autour de ces centres instantanés. Mais il faut toujours entendre par ce langage, que nous avons tant de fois expliqué, que ce mouvement est

la limite d'une suite de mouvements de rotation dont le nombre croît indéfiniment, et qui s'exécutent successivement autour de points qui se rapprochent indéfiniment des centres instantanés.

Moyen de mener la tangente à la trajectoire d'un point quelconque du système j quand on connaît les tangentes aux trajectoires de deux points.

150. M. Chasles a déduit de ces considérations un moyen de mener la tangente à la trajectoire d'un quelconque des points du système , c'est-à-dire à la courbe qu'il décrit, quand on sait mener les tangentes aux trajectoires de deux de ses points. Il l'a même étendue à d'autres cas , comme nous le verrons tout à l'heure. En effet, nous avons vu que, pour avoir la normale en un point quelconque d'une de ces courbes, il suffisait de joindre ce point au point de contact de la courbe roulante avec la courbe fixe , c'est-à-dire au centre instantané de rotation. Si donc on peut mener les tangentes aux trajectoires de deux points du système, aux points correspondants à une position quelconque de ce système, la rencontre des normales en ces points fera connaître le centre instantané; et en le joignant à un point quelconque du système dans cette même position, on aura la normale à la trajectoire de ce point : la tangente s'ensuit.

Exemple. — Supposons qu'une droite de longueur constante se meuve de manière que ses extrémités restent sur deux droites données ; un quelconque de ses points décrira une ellipse dont la normale s'obtiendra en joignant ce point au point de rencontre des perpendiculaires aux deux droites menées par les extrémités de la droite mobile dans la position correspondante au point que l'on considère. I. i3

ig4 LIVRE I.

Si, au lîeudesdetix droîles fixes, on avait deux courbes auxquelles on saurait mener les tangentes , il n'y aurait pas plus de difficulté. Dans le cas où ces courbes sont des cercles, la courbe décrite par un point de la droite inscrite est d'un grand usage dans les applications aux macbines.

i 54 . Extension de cette règle au cas ou une droite du système est tangente à une courbe fixe , ou passe par un point fixe.

Cette règle peut être étendue au cas où une droite du système se mouvrait tangentiellement à une courbe fixe donnée^ cette condition peut remplacer la connaissance de la trajectoire d'un point.

n est inutile de parler du cas où la droite roulerait sans glisser sur la courbe , parce que le centre instantané ne serait autre cbose que son point de contact avec cette courbe 5 il serait donc connu et le problème serait résolu. Il suffit donc de considérer le cas où les longueurs qui s'enroulent l'une sur l'autre sont inégales, et où, par conséquent , leurs parties infiniment petites correspondantes n'ont pas pour limite de leur rapport l'unité; de sorte que ces parties étant du premier ordre, leur différence en est aussi. Soient UV, U'V (fig, 70) deux positions infiniment voisines de la droite du système qui reste tangente à la courbe fixe SS'5 M, M' les points de contact correspondants à ces deux positions. Lorsque UV se déplace , celui de ses points qui était en M décrit une trajectoire tangente en M à la courbe SS'. En effet, soit Ml sa position sur U'V^; la différence entre M'Mi et l'arc MM' est par hypothèse du même ordre que MM' ; mais, puisque l'angle des tangentes, ainsi que M'Mi sont des infiniment petits du même ordre que MM' ou du premier ordre, la distance MM^ est aussi du premier

DF.S QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. igS

et la perpendiculaire abaissée de Mi sur MV est du second^ donc l'angle MiMV a pour limite zéro 5 c'est-à-dire que la tangente en M à la courbe que décrit ce point lié à la droite UV, coïncide avec UV.

Il suit de là que dans une quelconque des positions de UV, son point de contact M peut être considéré comme se mouvant sur une courbe fixe tangente en M à UV. Donc on aura le centre instantané de rotation , en élevant en M une perpendiculaire à UV et cherchant son point de rencontre avec la normale à la trajectoire connue d'un autre point du système.

Mais si. au lieu de celle trajectoire d'un autre point, on connaissait une seconde courbe à laquelle une seconde droite du système serait tangente, on se retrouverait dans le même cas que tout à l'heure 5 et en élevant une perpendiculaire à cette seconde droile en son point de contact, on aurait une nouvelle droite renfermant le centre instantané de rotation qui se trouverait ainsi déterminé. D'où résulteraient, comme nous l'avons vu , les tangcnles aux trajectoires des autres points.

152. Si la courbe à laquelle la droile du système est tangente se réduisait à un point, c'est-à-dire si elle était assujettie à passer par un point fixe, il suit de ce qui précède qu'en élevant en ce point une perpendiculaire à la droite , on aurait une ligne passant par le centre instantané. D'ailleurs la démonstration directe en est encore plus facile.

Car soient A {fig- 71) le point fixe, UV, U'V'deux positions infiniment voisines de la droite. M' la position où est venu le point M de UV, MM' sera une sécante du lieu décrit par ce point 5 à mesure que U' V s'approcherait de reprendre la position UV , le point M' tendrait vers M et la sécante MM' vers UV^ cette dernière direc-

igG LIVRE I.

lion est donc celle de la tangente au Heu décrit par le point M de UV. Donc on aura encore une ligne contenant le centre instantané de rotation , en menant par M une perpendiculaire à UV.

applications de ces différents procédés,

153. 1°. Conchoïde, — La droite AN (Jig' 36) passant par le point fixe A , et son point M décrivant la droite XY, on aura la normale à la courbe décrite par un de ses points N, en élevant en A une perpendiculaire à AN, et en M une perpendiculaire à XY, puis joignant N à leur point de concours O.

On reconnaîtrait facilement que celte solution plus simple rentre dans celle que nous avions trouvée par une autre voie.

2°. Cyssoïde, — Nous considérerons le mode suivant de génération de cette courbe.

On donne deux droites rectangulaires AC,CZ {fig* 72) ; on prend deux longueurs égales CB , BA , et on fait mouvoir un angle droit AVU , de manière que VU = AC , que le point U se meuve sur CZ, et que le côté VA passe toujours par le point fixe A : le milieu M de UV décrira une cyssoïde commençant en B et ayant pour asymptote la parallèle à CZ à une dis lance CB' == CB.

Cela posé, pour mener la tangente en M, il suffira d'élever en U une perpendiculaire à la droite CZ, sur laquelle se meut le point U de la figure mobile, et en A une perpçndiculaire à AV5 le point de rencontre de ces droites sera lecenlre instantané, et, en le joignant à M, on aura la normale à la cyssoïde.

3**. Angle droit dont les côtés sont tangents à une el^ lipse. — Il suffira de mener des perpendiculaires aux côtés de l'angle, en chacun des points de contact, et de joindre

leur point de rencontre au sommet de Fangle mobile; on aura ainsi la normale au lieu décrit par ce sommet. Cette normale sera la seconde diagonale d'un rectangle dont l'autre sera la corde de contact-, elle passera donc par le milieu de cette corde et, par suite , par le centre. On voit donc que toutes les normales au lieu en question passent par le centre de Fellipse; donc ce lieu est un cercle concentrique à l'ellipse. On aura son rayon en prenant les côtés de l'angle parallèles aux axes; on trouvera ainsi Va* •+■ 6*î en désignant les demi-axes par a, ft.

Les mêmes raisonnements s'appliquent immédiatement à l'hyperbole •, mais le problème n'est pas toujours possible. Dans le cas de la parabole , toutes les normales au lieu seront parallèles à Taxe; par conséquent, ce lieu sera une droite perpendiculaire Taxe : et l'on reconnaît facilement que c'est la directrice.