DES COU«BES ENVELOPPES

154. Considérons une courbe dont l'équation renferme une constante, ou paramètre, à laquelle on donne une série de valeurs, variant d'une manière continue. Pour chacune de ces valeurs , on aura une courbe déterminée. Ces courbes changeront de forme et de position^ et, si leurs points laissaient une trace sur le plan , il arriverait généralement qu'il y aurait une partie du plan sur laquelle cette trace serait imprimée et une autre partie où il n'en existerait pas. La séparation de ces deux parties sera une ligne avec laquelle les courbes variables auront un point commun , mais qu'elles ne pourront couper, puisqu'alors elles pénétreraient dans la région où cependant elles n'ont aucun point , par l'hypothèse même. Cette ligne de séparation est donc tangente à toutes ces courbes , et on la nomme leur em^eloppe.

Nous avons déjà traité un cas particulier de celte question générale, celui où la ligne mobile est droite; et nous avons démontré que si, pour chacune des positions de cette droite, on cherchait la limite de sa rencontre avec la droite infiniment voisine, on obtenait un point d'une courbe à laquelle ces droites sont constamment tangentes.

Il s'agit maintenant de généraliser ces considérations. Pour cela , considérons une quelconque des courbes en question et deux autres infiniment voisines, Tune précédant , l'autre suivant la première \ et supposons que celle-ci soit coupée par chacune des deux autres, ce qui

peut liès-bieii ne pas arriver. Joignons ces deux points de rencontre infiniment voisins par une droite : ce sera une sécante à la courbe, d^autant plus voisine de la tangente que les courbes seront plus rapprochées.

En agissant de la même manière pour toutes les courbes infiniment voisines, dans toute l'étendue des valeurs du paramètre pour lesquelles les courbes^ infiniment voisines se coupent, on construira un polygone à côtés infiniment petits et auquel les courbes variables tendront de plus en plus a être tangentes, à mesure que Ton considérera un plus grand nombre de courbes intermédiaires. De sorte que la limite vers laquelle tend le lieu de ces points de rencontre est une courbe tangente à toutes les proposées ; et, sur chacune de celles-ci, on aura le point appartenant à l'enveloppe, en cherchant la limite de son point de rencontre avec une autre qui s'en rapproche indéfiniment. Le problème est donc ramené à la recherche de la limite d'un point, après quoi il rentrera dans les questions ordinaires de lieux géométriques. Le calcul de cette limite peut être indiqué d'une manière générale.

Soit

Féquation d'une quelconque des courbes , a désignant le paramètre variable. Une courbe infiniment voisine correspondra à un accroissement infiniment petit /i de a , et aura pour équation

(2) F(x,f,a-hh)=o.

Les valeurs de x et y, tirées de ces deux équations, tendront vers les coordonnées du point limite à mesure que l'on y fera tendre h vei^ zéro. C'est ce que l'on pourra effectuer dans chaque cas particulier; mais il est possible de ramener ce calcul à une considération générale.

Remarquons d'abord que, puisque nous désignons par le même signe F les fonctions qui expriment les deux membres de ces équations, nous supposons que ces fonctions ont une forme unique, que, par exemple, il ne s'y trouve pas de radicaux affectés de double signe; car il faudrait alors s'assurer si , pour le point de rencontre, les signes doivent être pris de la même manière , sans quoi la fonction ne serait pas la même dans les deux équations. Pour éviter ces difficultés, nous admettrons que la forme de Téquation donnée a été modifiée, s'il Ta fallu, de manière à devenir unique.

Retranchant les équations (i ), (2), on aura une équation qu'on pourra substituer à (a) sans changer les solutions communes 5 on peut encore diviser par A, et les coordonnées du point de rencontre des deux courbes infiniment voisines seront données par l'équation ( i ) et la suivante :

/2\ F (3:, j, a H" /^ ) — F (jt, j, a) __ ^

On aura donc les coordonnées du point limite eu cherchant les solutions communes à l'équation ( i ) et à celle dont le premier membre serait la limite vers laquelle tend celui de l'équation (3) lorsque A tend vers zéro, c'est-à-dire la dérivée de F (a:, y, a) par rapport à a.

Ainsi , pour chaque position de la courbe mobile , le point de la courbe enveloppe sera déterminé par les équations

¥{a:,jr,a) = o, F'(rt) = o,

et si l'on veut le lieu de ces points, il suffit d'éliminer a entre ces deux équation^.

Remarquons que si dans une de ces positions la courbe n'est pas coupée par les voisines, cela annoncera qu'elle n'aura aucun point commun avec l'enveloppe. Dans ce

cas, cette dernière courbe ne sera tangente qu'aux courbes correspondantes aux valeurs de a comprises entre certaines limites, comme nous en citerons des exemples.

155. Applications, — i". Soient deux droites parallèles BU, BTJ' (Jig. 73) coupées par une troisième BB', et une droite MM' qui se meut de manière que Ton ait toujours

BM.B'M' = /?î';

trouver l'enveloppe de ces droites. Prenons pour origine le milieu A de BB', pour axes la droite ABX et une parallèle à BM, et faisons BB' = 2 a.

En prenant pour équation de M' M

y = eux -f- 6,

on devra avoir, entre a, 6, la condition

d'où

et l'équation de la droite* sera

Pour faire disparaître la double forme, on l'écrira ainsi :

[y — a x)' = fl' a^ 4- /w' , ou

j' — 2 a jc/ -i- a' ( x' — a}) — m'=: o.

Égalant à zéro la dérivée par rapport à a , il vient

en éliminant a entre cette équation et la précédente, on aura pour équation de l'enveloppe

On peut remarquer que si l'équation de la droite avait été résolue par rapjJbrt à a , ce qui aurait donné un double signe, le calcul devenait illusoire, et l'on se trouvait dans le cas dont il a été parlé en général.

2°. Supposons maintenant un cercle variable ayant pour équation

a étant le paramètre variable.

Faisant passer tous les termes dans le premier membre, et prenant la dérivée par rapport à a : ou encore prenant les dérivées des deux membres par rapport à a , ou trouve

(2) — 2.r -f. 2fl — /w = o.

Eliminant a entre (i) et (2), on a pour équation de l'enveloppe

parabole qut a pour axe la drofte sur laquelle se meut le centre du cercle. Son sommet C [fig- y 4) ^st à une distance AG,=i y 5 et les points B, B', où elle coupe Taxe

des jr^ ont pour ordonnées db ■— •

Cette question offre un exemple du cas où toutes les . courbes mobiles ne sont pas touchées par Fenveloppe. En effet, les équations (i), (2) donnent pour coordonnées du point limite de T intersection de deux cercles

Ainsi , pour toutes les valeurs de a moindres que y -> les

DES QUANTITÉS CONSIDEREES COMME LIMITES. 2o3

cercles successifs ne se coupent pas 5 ils sont intérieurs

l'un à l'autre. Pour « = -;- 9 on a

ce qui donne le point C. Les valeurs plus grandes de n, jusqu'à Tinfini, donneront tous les points de la parabole.

Caustiques, •

156. Lorsque des rayons de lumière ou de chaleur, émanés d'un même point dans toutes les directions sftuées dans un même plan, sont réfléchis à leur point de rencontre avec une courbe située dans ce plan, de manière que les angles des rayons incidents et réfléchis avec la normale à cette courbe soient égaux, l'enveloppe des rayons réfléchis se nomme caustique par réflexion ^ relativement à cette courbe et au foyer de chaleur ou de lumière. . ^

Si les rayons étaient réfractés au point où ils rencontrent la courbe, l'enveloppe se nommerait caustique par réfraction. Ces courbes ont dans la physique une utilité dont nous ne parlerons pas ici. Pour les obtenir, on cherchera , sur un rayon réfléchi ou réfracté quelconque , la limite de son point de rencontre avec un rayon infiniment voisin, puis le lieu des points ainsi trouvés. Ce point limite peut être trouvé par le calcul, en cherchant l'équation générale des rayons réfléchis ou réfractés; on peut aussi le trouver souvent plus simplement par des considérations géométriques ; nous allons en donner quelques exemples , en nous bornant aux caustiques par réflexion.

Considérons d'abord généralement la question poui une courbe quelconque.

2o4 LIVRE I.

Supposons qu'un rayon de lumière parte d'un point donné A [fig- 75 ) et se réfléchisse en B sur une courbe donnée , en faisant avec la normale BV un angle VBX = ABV.

Considérons un autre rayon infiniment voisin , partant de A et se réfléchissant en M sur la courbe. Ce rayon réfléchi rencontre le premier en X.

Cela posé, on demande la limite du point X , lorsque M se rapproche indéfiniment de B.

On suppose connue, d'après la nature de la courbe, la limite m du rapport de l'angle O des deux normales à l'angle A correspondant,

L^ deux triangles MHX, BHO, ayant un angle égal H, donneront, en désignant par a, a! les deux angles d'incidence successifs ,

X — 0 = OBH — HMX=a— a'; les deux triangles BAK , MOK donnent dé même

O — A = a — - a', d'où • *

X — 0 = 0 — A ou X-f-A = 20.

On aura maintenant les deux proportions suivantes :

MX : MI :: slnl : sinX, BA : BI :: slnl : sinA,

d'où

MX . MI . sinX

BA * BI ■* • sinA*

Or on reconnaît facilement que la limite du rapport

MI

^ est l'unité, parce que, dans le triangle BIM, les deux

angles B et M ont une même limite finie. Donc

,. MX ,. sinA ,. A ,. A i

lim. — — = liiTî. -r-37 = nui. — - = 11m.

BA sinX X 2O — A 2/w — i

Donc enfin, en observant que MX et BX ont même limite , on aura

AB

lim. BX :

La limite m peut s'exprimer au moyen du rayon de courbure R et de Tangle d'incidence a. En effet ,

0 = lim.-— , R.

et Ton peut prendre

^ BH, BMcosa ^-AB~ AB '

donc

lim. - =: w =