OC

Or, si Ton décrit du centre O avec un rayon OA = —

un cercle qui sera tangent au cercle HMN, Tangle au

AN centre AON aura pour mesure — , etFangle MHN inscrit

dans le cercle dont le diamètre est égal à AO aura pour

MN mesure -77--

On aura donc égalité entre les arcs MN, AN, puisque les deux angles sont égaux.

D'où il résulte que le point M de la caustique appartient à l'épicycloïde décrite à partir de l'origine A par un cercle dont le rayon est le quart de celui du cercle donné, roulant sur un cercle concentrique au cercle donné et d'un rayon moitié moindre.

2*^. Caustique par réflexion d'une spirale logarith^ mique^ en supposant le point lumineux au pôle.

Soient M, M' [fig* 78) deux points infiniment voisins pris sur la spirale-, MO, M'O les normales; AM, AM' deux rayons incidents, et MX, M'X ces mêmes rayons après la réflexion.

Il faut d'abord trouver la limite du point X quand M' lend vers M.

Les angles des rayons vecteurs avec la normale étant constants, d'après la nature de la courbe, et l'angle de réflexion étant égal à celui d'incidence, on reconnaît immédiatement que les trois angles A , O, X sont égaux.

Donc les cinq points M', M , A , O, X sont sur un même cercle. La limite de ce cercle est celui qui passerait par les deux points A , M et aurait en M la même tangente que la courbe. Traçant donc ce cercle, le point I, où il coupera le rayon réfléchi, sera un point de la caustique.

Si Ton veut connaître le lieu des points I, il suffira de lemarquer que le triangle AMI est isocèle, puisque les

cordes MAf MI, symétriques par rapport au diamètre MO', sont égales, et que T angle AMI est constant -, donc le rapport de AI à AM est constant, ainsi que Fangle lAM.

Donc les points I appartiennent à une spirale identique à la proposée , et que l'on fera coïncider avec elle en la faisant tourner autour du pôle, jusqu'à ce qu'un quelconque de ses points vienne s'appliquer sur la spirale donnée-

De r enveloppe d'une courbe déforme ini^ariable liée à une courbe qui roule sur une autre.

158. Soient HMK [fig* 79) la courbe enveloppée, M le point où elle touche Tenveloppe UV 5 H'M'R' la première courbe dans une position infiniment voisine. M' le point où elle touche l'enveloppe. Les points de contact de la courbe mobile et de UV se déplacent d'une manière continue sur cette courbe mobile-, de sorte que le point M de HR est situé sur H'K' à une distance infiniment petite de M'. Ce point est donc à une distance infiniment petite du second ordre de UV, puisque la courbe H'K' est tangente à UV en M'.

D'où il résulte que le lieu décrit par le point M de la courbe mobile est tangent en M à U V, et par conséquent à HK.

Ce qui donne le théorème suivant :

Les points oii une courbe mobile im^ariable touche son enue/oppe, dans une que/conque de ses positions, sont ceux qui décrii^ent des trajectoires tangentes à la courbe mobile dans la position que F on considère*

Or la trajectoire d'un point lié à la courbe roulante a sa tangente perpendiculaire à la droite qui joint le point que l'on considère au centre instantané de rotation , et ce

centre est le point de contact de la courbe roulante avec la courbe fixe.

Donc, enfin , pour une position quelconque de la courbe mobile , on aura les points où elle touche Tenveloppe, en abaissant du point de contact de la courbe roulante toutes les normales possibles sur la courbe mobile.

Exemple. — Un cercle dont le centre est O' (^g. 80) roule sur un cercle fixe dont le centre est O ; trouver l'enveloppe d'un diamètre déterminé du premier.

Soient ce une position quelconque du diamètre en question , et B le point du cercle O, avec lequel le point C a coïncidé ; les arcs AB et AC seront égaux.

Pour avoir le point de CC qui appartient à son enveloppe , il faut abaisser du point de contact A des deux cercles une perpendiculaire AI sur CC : I sera le point cherché.

Or, si Ton décrit un cercle sur AO' comme diamètre, il passera par I, et l'angle AOI considéré successivement comme inscrit dans ce cercle, et comme ayant son sommet au centre du cercle roulant, aura pour mesure

arc AI arc AC

Donc Tare AI est égal h AC et par suite à AB. Le point I appartient donc à Fépicycloïde décrite par le cercle de diamètre AO' roulant sur le cercle fixe. Celte épicycloïde est donc l'enveloppe cherchée.

Autre exemple. — Considérons maintenant l'enveloppe d'une droite de longueur constante dont les extrémités sont assujetties à rester sur deux courbes données, on aura le point appartenant à l'enveloppe en menant d'abord les normales aux deux courbes aux extrémités de la droite 5 leur point de rencontre sera le centre instantané, et il suffira d'abaisser de ce point une perpendicu-

210 LIVRK 1.

laire sur la droite inscrite pour avoir le point de la courbe enveloppe. ,

En appliquant cette construction au cas où les deux courbes se réduisent à des droites perpendiculaires, on retombe sur un résultat précédemment obtenu.

Rayon de courbure de Vens^eloppe d'une courbe de forme ini^ariable liée à une courbe qui roule sur une autre.

159. Soient la courbe U'V (Jig, 8i) roulant sur UV, HK la courbe liée à U'V, et H'K' son enveloppe. Soient A le point de contact de UV, U' V dans une position quelconque , O, O' les centres de courbure de ces deux lignes, R 5 R' leurs rayons de courbure, n la longueur de la normale AM abaissée de A sur HK, ©l'angle qu'elle faik avec la normale commune OA'O.

D'après ce qui précède , le point M appartient à l'enveloppe de HK. Pour avoir un point de cette même courbe, iniiniment voisin de M, prenons sur UV, U'V'deux arcs égaux infiniment petits AN, AN', que nous désignerons par 0), et abaissons de N' une normale N'B' sur HK. Lorsque, dans le roulement de U'V, N' sera venu coïncider avec N, le point B' de HK sera devenu le point de l'enveloppe, puisque N'B' sera alors la normale abaissée sur HK du point de contact N des deux courbes UV, U' V. Soit B la position que B' aura prise ainsi, BN sera la normale commune à l'enveloppée et à H'K' ; le point X où elle rencontre la normale infiniment voisine a pour limite le centre de courbure de l'enveloppe, et nous le considérerons dans nos calculs comme étant ce point même.

De même nous considérerons le point de rencontre I des deux normales à HK aux points infiniment voisins M, B' comme étant le centre de courbure de HK , et nous fe-

DES QUANTITÉS CONSIDÉBÉES COMME LIMITES. 2tl

rons

MI = p', MX = p.

Cela posé, lorsque le point N sera devenu le point de contact, le système mobile aura tourné d'une quantité angulaire égale à l'angle que faisaient les deux tangentes en N, N' lorsque A était le point de contact. Cet angle, qui est le même que celui des normales NO, N'O', est égal à la

somme des angles O, O' ou à ^ H- —•

Mais, d'une autre part , la ligne N'B'I étant venue coïncider avec BNX , la quantité dont le système a tourné doit être égale à la somme des angles I , X ^ d'où résulte

OH-0' = I-f-X.

Pour évaluer les angles I , X on abaissera de A des perpendiculaires sur IN' et BX-, elles auront pour valeur wcosy, et Ton aura, par conséquent,

w ces (p

b> COSf

d'où résultera l'équation

b> Cl) 6) COS^