X.IV&E II
tîelles du résultat par rapport hjr • lesquelles seront ellesmêmes suivies de p dérivations par rapport à x, et ainsi de suite.
Désignons de même par <^J^"^^.. « le résultat obtenu
en prenant d'abord la différentielle partielle de l'ordre m de u par rapport à x^ puis la différentielle partielle de Tordre n par rapport kj de l'expression obtenue, et ainsi
de suite. Et enfin représentons par A^"^"'*''^"' u le résultat
obtenu en prenant d'une manière analogue les différences au lieu des différentielles. Cela posé, on aura d'abord, d'après ce que l'on a vu en traitant les fonctions d'une seule variable, et faisant usage des notations que nous venons d'indiquer,
Considérant maintenante^ comme la seule variable, ot prenant la différentielle n"'"" des deux membres , on aura, de la même manière ,
prenant maintenant la différentielle partielle d'ordre p par rapport à x , et continuant ainsi indéfiniment, on obtiendra
ou
Les dérivées partielles s'expriment donc au moyen des .
différentielles partielles correspondantes d'une manière analogue à celle qui se rapporte aux fonctions d'une seule variable.
Il y a encore évidemment le même rapport entre ces dérivées et les différences partielles correspondantes. En effet, on aura d'abord, d'après ce qui a été démontré pour les fonctions d'une seule variable ,
w devenant nul en même temps que Ao:. Prenons maintenant la différence n'^""' des deux membres par rapport à j^ et divisons-la par Aj" •, il faudra , par les mêmes raisons, prendre la dérivée partielle /i'^'"* du second membre par rapport à y et y ajouter une quantité qui devienne nulle avec Ay. Si, de plus, on observe que w devenant nul avec Aar, il en est de même de sa dérivée z/*^'"" par rapport à y^ on en conclura l'égalité suivante :
c*)i devenant nul quand on suppose que A j: et Aj le deviennent tous les deux.
Prenant actuellement la différence d'ordre p des deux membres par rapport à a:, la divisant par Ax'' , et continuant ainsi indéfiniment , on obtiendra la formule générale
£ devenant nul quand Ax et A y le deviennent lous les deux.
D'où Ton conclut enfin , comme pour les fonctions d'une seule variable ,
et il en serait de même pour un nombre quelconque de variables indépendantes.
Les notations que nous venons d'employer peuvent être simplifiées au moyen d'une proposition fondamentale que nous allons démontrer.
198. De l'ordre dans lequel se succèdent les différentiations, — Si l'on prend les différences successives d'une fonction par rapport aux diverses variables indépendantes qu'elle renferme, on arrivera toujours au même résultat, dans quelque ordre qu'on effectue ces opérations , pourvu qu'on ne change pas le nombre de celles qui doivent être faites respectivement par rapport à chaque variable.
Soient, en effet, x el y deux des variables dont dépend une fonction u.
Si Ton change d'abord .r en x M- Ao: , u devient
si dans cette expression on change y en y H- A^, elle devient
et Ton a ainsi ce que devient u quand x el y sont changés en X -h ^x , y -h A j .
Or, en faisant les substitutions en sens inverse, on aura
CALCUL DES Dl^BIVÉES ET DES DIFEÉBENTIELLES , ETC. 267
et ce résultat doit être identique au précédent puisqu'il exprime toujours la fonction u dans laquelle xtiy sont changés en a: + Ax,y + A J-.
Donc on a identiquement
Si maintenant on divise les deux membres par A x Aj et qu'on passe aux limites, en faisant tendre A j: et ^y vers zéro , on en conclura , par ce qui précède ,
et , par conséquent ,
Si l'on prend successivement un nombre quelconque de différences, de différentielles ou de dérivées partielles, il est facile de voir que Tordre dans lequel on les prendra est complètement indifférent. En effet, deux de ces opérations successives pouvant être changées d'ordre, on pourra faire arriver au premier rang celle que l'on voudra , en la faisant avancer successivement d'un rang vers le commencement \ on amènera ensuite au second rang celle que l'on voudra des autres, et enfin on les placera toutes dans un ordre quelconque , sans que le résultat cesse d'être identiquement le même.
D'après cela , on pourra supposer que toutes les différentiations par rapport à la même variable soient faîtes consécutivement , et les notations précédentes seront simplifiées en ce qu'elles ne renfermeront qu'une seule indication pour chaque variable : et c'est < e que nous ferons dorénavant.
On simplifie encore l'expression des dérivées partielles
en écrivant - — —— au lieu de ^ ^^ parce que les exposants de dx et de dy suffisent pour indiquer le nombre des différentiatîons effectuées par rapport à chacune des variables x et y.
Mais si , pour avoir la différentielle partielle correspondante, on faisait la multiplication par dx"" dy^ en supprimant le dénominateur, on obtiendrait J'"+"m , expression qui ne renfermerait plus aucune trace des différentialions effectuées. On est donc obligé , pour que la notation ait un sens déterminé , de conserver le dénominateur, et d'écrire ainsi cette différentielle,
T— djf dr" .
dx"^ dy"" '^
Elle serait représentée beaucoup plus simplement par la
notation déjà employée, d'^^'^u.
Le système de notation de Lagrange s'applique aux fonctions de plusieurs variables ; mais nous n'en parlerons pas , vu que les géomètres n'en font pas usage. La notation de Leibnitz a prévalu, parce qu'elle a surtout le grand avantage de mettre en évidence les différences infiniment petites , dont la considération est si utile dans toutes les recherches qui dépendent des mathématiques.
Différentielles totales des fonctions de variables indépendantes , 199. Soit
Il = F(x, jrj,
X et j étant indépendantes ; nous avons vu précédemment que l'on avait
du du
dx dy
CALCUL DES DERIVl^ES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 269
0) étant infiniment petit par rapport à Ax, Aj^, Am, quand A j: et Aj^ tendent vers zéro.
La somme des deux premiers termes jouit donc, par rapporta Taccroissement total Aw,de cette propriété remarquable, d'être égale à la différence elle-même, à une quantité près infiniment petite par rapport à celte diflerence. D'après cela , Tanalogie nous conduit à donner le nom de différentielle totale de w à l'expression suivante :
du , du ,
dx et dy étant des quantités indéterminées et indépendantes que nous nommerons les différentielles de x et y. Elle jouit de la propriété que, lorsque dx et dy seront considérés comme les. accroissements infiniment petits donnés à x et y, elle pourra être prise pour l'accroissement total de u en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à cet accroissement.
Nous désignerons cette différentielle totale par du , et il faudra bien la distinguer des Jw partiels qui se trouvent dans le second membre et sont différents l'un de l'autre. Pour éviter toute confusion, on devra se garder de supprimer les facteurs communs dx et dy^ et écrire
, du , du , (.) au:=-da:+-dy.
On peut encore écrire
du = efc M -f- dyU,
Ces considérations s'appliquent à un nombre quelconque de variables indépendantes, et la différentielle totale dune fonction de plusieurs variables indépendantes sera toujours la somme de ses différentielles partielles relatives à chacune de ces variables.
Cherchons maintenant l'expression des différenlielles successives de i/. Et pour cela remarquons d'abord que la
différentielle de ^ sera , par la règle qui vient d'être
démontrée ,
elle se formerait donc en multipliant ^ar — dx -h — dj
r expression proposée - — ^— » pourvu qu'on y considérât
l'indice du numérateur comme un exposant, et qu'après la multiplication on changeât l'exposant des numérateurs en indices de différentîation. D'après cela , si l'on part de la formule (i) , la différentielle du second membre s'obtiendra en la multipliant par -j- d>x -\-— dj^ et faisant
le changement des exposants en indices. Il en sera de même pour la différentielle de ce résultat 5 et , par conséquent, en désignant par d'^'u la différentielle totale de l'ordre m de ti , on aura la formule symbolique
'(du , du , \'*
en entendant toujours que les exposants des du dans le second membre seront changés en indices de différentiations.
Comparons maintenant rf"* m à la différence totale ùi'^u.
Reprenons pour cela la formule
du du
Au= -— àx-{ — --Ar-f-w, djc dy
dans laquelle nous supposons A x et ^y infiniment petits 5 et donnons à a: et ^ les mêmes accroissements
Ax^ Ay, L'accroissement de — calculé semblablement
, , . , . 1 . T ^^ du . du .
s obliendrait en muitiphant — par — Ax-^ — Ajr , et
ajoutant une quantité infiniment petite par rapport h Ax
et Ay\ il en serait de même pour l'accroissement de — •
De sorte que l'accroissement de — Ax-h -j- Aj^sera représenté symboliquement par le carré de cette expression , dans lequel on changera les exposants de du en indices, plus une quantité infiniment petite par rapport aux quantités Ajc*, AxAj", Aj^*. Or nous savons que co se compose de termes qui ont en facteurs, les uns A a:, les autres Aj, et en outre d'autres facteurs qui deviennent nuls avec A a: et Ay ainsi que leurs dérivées \ d'où il suit que l'accroissement de ci> sera infiniment petit par rapport aux mêmes quantités A a:', AxAy, Aj*. On a donc la formule symbolique
/du du \'
a>' étant infiniment petit par rapport aux quantités A a*, AxAy^ Ay^. En continuant ainsi on parviendrait, sans difficulté, quel que fût le nombre des variables , à la formule symbolique générale
[du du y^
\dx dy -^ )
co étant infiniment petit par rapport au produit de m fac- ^teurs A a: ou Aj*.
On a donc aussi cette autre proposition générale : La différentielle totale de V ordre m d'une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendante» dans laquelle on prend dx^ dy, etc., égaux aux accrois-
^']7i LIVRE II.
sèment S infiniment petits de ces variables, ne diffère rie la différence m'^'"" correspondante , que d'une quantité infiniment petite par rapport h elle-même.
Remarque générale. — Lorsque l'on cherchera une oquatîon entre les différentielles d'ordre quelconque de fonctions quelconques, et que, pour y parv.enir, il sera avantageux de considérer d'abord des différences infiniment petites , on pourra substituer les différentielles aux différences correspondantes, et négliger toute quanlité infiniment petite par rapport à celles entre lesquelles on cherche la relation. Car si l'on divisait l'équation exacte par une des différences , élevée à une puissance convenable, et qu'on passât à la limite, les rapports des différences seraient remplacés par ceux des différentielles, et l'on aurait l'équation même à laquelle on serait parvenu en négligeant des quantités nécessaires pour l'exactitude de l'équation entre les différences, mais qui disparaissent de l'équation exacte entre les différentielles, considérées comme des quantités infiniment petites ou finies.
Différentielles totales des divers ordres des fondions ' de plusieurs variables dépendantes,
200. Si les variables xti y^ qui entrent dans la fonction u, étaient elles-mêmes des fonctions de variables indépendantes, les différentielles totales de u changeraient toutes de forme , excepté celle du premier ordre , parce que les facteurs dx ^ ^/^ ne seraient plus constants.
Ainsi la différentielle première de u aurait toujours
pour expression
du ■ du .
du-=i -— dx-\ — r-^X' dx dy
Mais, en différentiant celte expression, il s'introduirait
CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. Q.n'^
les termes
tlu , (lu ,
dx dy
et l'on formerait d^x^ d}y en fonction des variables indépendantes et de leurs diflérenlielles d'api es les formules précédentes. On aurait ainsi
d^u , , d^u , , d^u , , du ^^ du ,
d^uz=-—c!a:^-i-2——-dxdx-i-—-dY'-\--z-cPx-{--—dW, • dx* dxdj dy^ " dx dy
et rf^ M jouira, par rapport à Ù^a^ de la propriété qui a été démontrée indépendamment de la forme qui pourrait résulter de variables intermédiaires entre u et les variables indépendantes.
On trouverait de même les différentielles totales des ordres suivants, et pour un nombre quelconque de variables, supposées dépendantes d'autres quelconques. Si parmi ces variables, les unes étaient dépendantes et les autres indépendantes, il suffirait de supposer nulles les différentielles de ces dernières qui passeraient le premier ordre.
Cas particulier oit x et y sont des Jonctions linéaires, — Si a: et j^ étaient des foncticma, linéaires des variables indépendantes, dx et dy seraient constants, quelles que fussent les valeurs des variables 5 on aurait donc
d^x=zOy d^y = o , dx = o , . . . ,
et, par conséquent, on retrouverait la formule symbolique
/du , du X""
qui s'étendrait à un nombre quelconque de variables.
Différentielles des dii^ers ordres des jonctions implicites,
