Supposons d'abord la fonction implicite u dépen- I

dante des variables x et y, et déterminée par une équation unique

F(.r, j, w)=rO;

nous aurons d'abord

dY , r/F , r/F ,

— - ^/jc -f- -z-dy H — — duzzio.

dx dy du

d'où Ton tirerait du , comme nous l'avons déjà vu.

Diflerentîant encore cette équation par rapport à toutes les variables, et observant que du n'est pas constant, il vient

-T-. ^^ H- -7-7 "^/ -+- -3-7 ^^'^ H- 2 T-7- ^^-^'^J r/a,' r/j2 ^ ^//' dxdy ^

dxdu H- 2 —— — dydu ~\- -— dUi= o;

dxdu dydu ' du

d'où l'on tirerait rf*M, et ainsi de suite. On agirait de la même manière pour un nombre quelconque de variables indépendantes. Si 11 ne dépendait que d'une variable x^ cette équation se réduirait à

d'Y . d}Y d'Y dY

- — dx"' -f- 2 - -- dxdu H ; — r/w- H — d^ u =

rrO.

dx'^ dxdu du"^ du

202. Si l'on avait deux équations, il y aurait deux variables, fonctions de toutes les autres; et, dans ce cas, on différen lierait successivement chacune des équations, en distinguant bien les variables dépendantes des indépendantes : on déterminerait ainsi les différentielles secondes, troisièmes, etc., des deux fonctions; et Ton agirait de la même manière dans le cas d'un nombre quelconque d'équations.

CALCUL DES DÉniVÉES ET DES DIFFERENTIELLES, ETC. 2*^5

Soient , par exemple , les deux équations

■F{x,y, u) = o, /{xyjTy 'i) = o;

y et u sont des fonctions de la variable indépendante x. On aura d'abord les deux équations

^F , dY , dY ^

-— dx 4- -— - rfj-h -j- du = o,

dx dy du

-fdx^f-dy-^ -f-e/tt = o; dx dx du

d'où l'on tirera dy et du. En diflérenliant ces deux équations, on obtiendra

^F , , dY ^^ dY ^^ dydu dy du

—f- dx' -^-^dy' -^ ^ du'-JfT. --4- dxdy-Jf'i^ ~r ^^du œ X dy' du' dxdy dxdu

-h2—^-dydu-{--^ d'y -h -f ^tt = o, dydu dy du

d'où l'on tirerait d^ u et d^y^ puisque dy et du sont connus. On obtiendrait ainsi les différentielles de tt)usles ordres de y et u.

2'jiy LIVRE II.

GHAPfrRE IV.

CHAISGEMKNT DE VAUIABLES.

203. Cas cl' une seule variable indépendante, — Nous considérerons d'abord les fonctions d'une seule variable indépendante 5 et l'objet que nous allons nous proposer est d'exprimer toutes les dérivées d'une fonction j par rapport à une variable x dont elle dépend , au moyen des dérivées successives d'une autre fonction u par rapport à une variable t^ regardée comme indépendante.

Toutes les quantités dépendent d'une seule variable : ainsi Ton a trois équations entre or, j-, a, ^5 ou deux seulement, en laissant de côté celle qui exprimera la relation entre x et y. On voit qu'en vertu de ces trois équations, on peut considérer u comme une fonction de ^, et ce sont les dérivées de u par rapport à t que Ton veut faire entrer dans des calculs où se trouvent les dérivées de j par rapport à x.

Pour cela nous allons d'abord exprimer les dérivées de j par rapport à .r , en fonction des dérivées de x et j par rapport à la même variable indépendante t dont elles seraient regardées comme fonctions. Ces formules seront les mêmes, quelle que soit la forme particulière, tant de l'équation entre x et y^ que de celle qui doit lier x et j avec t. Nous montrerons ensuite commt^nt les dérivées de X et y par rapport à t peuvent s'exprimer au moyen de celles que l'on veut introduire, qui sont celles de u par rapport à f . Ce dernier calcul dépend des t^quations qui lient x ci y avec f et m, et peut-être encore avec

d'autres variables -, et le nombre des ëquatious doit toujours être tel, qu'il n'y ait qu'une seule variable indépendante, comme nous l'avons supposé.

204. Pour exprimer les dérivées de y P^'* rapport à x au moyen de celles de x e,\.y par rapport à t, nous observerons que 5 d'après le principe des fonctions de fonctions, on a

dy dy dt . dt i

dx ~^ dtdx^ " J P 4 dx^ Tîx^

dt

dy

dy

dt

dx

' dx

dt

Passons maiiilenant à l'expression de -7— ^» Nous différen-

tierons pour cela les deux membres de cette équation par rapport à x\ mais, afin de n'introduire dans le second membre que des .dérivées par rapport à t, nous le différeutierons d'abord par rapport à t, puis nous multiplierons par -7-9 ou nous diviserons par -r-- Nous obtien- ^ dx ^ dt

(Irons ainsi

d^y dx d^ X dy d'y __ Ht^ dt"~~ 'dF dt dx- l'dxX^

[dF)

De même, pour obtenir y^^» nous diflérentierons le second membre par rapport à t, puis nous diviserons par -^•

Et en continuant ainsi , il est clair que l'on aura l'expression de toutes les dérivées de / par rapport à a: , au

^'jS LIVRE II.

moyen de celles de x et y par rapport à une variable quelconque i, donta:elj^ seraient dépendants.

On peut , au lieu des dérivées de x et y par rapport à f, introduire leurs différentielles 5 il suffira de supprimer le diviseur df^ et il viendra

d^X d^ydx — d^ xdy

Ces premières formules se rapportent au changement de la variable indépendante seulement.

Si l'on suppose que la variable t soit la fonction y elle-même, on aura les dérivées de y par rapport à x^ exprimées au moyen de celles de x par rapport ky^ quelle quç soit d'ailleurs la relation entre x et y. Ces formules seront

djr I d'^j dy^

dx dx dx^ Ty

205. Considérons maintenant le cas général où Ton aurait entre m variables a:, j^, . . . , 1/ , Z , les m — a équations

(ir

sans compter l'équation qui donne y en fonction de x. Si l'on différentie ces m — 2 équations par rapport à f , on

dx dy r> , ^ du -,

pourra exprimer ^' 77- en fonction de -— > par la resolution d'équations du premier degré.

Différentiant de nouveau ces équations, on introduira les dérivées secondes par rapport à f , et il y restera des dérivées premières que l'on pourra remplacer par leurs valeurs tirées des premières équations. On pourra donc

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. ^^^g

encore, par la résolution d équations du premier degré,

, . , , ^ d^x d^Y ^ d^u du

tirer les valeurs de -7-9 -rr au moyen de -r— et -7dt^ dt^ \ dt* dt

En continuant ainsi , toutes les dérivées de j: et de j^

par rapport à t seront exprimées au moyen de celles de u

par rapport à f -, et comme nous avons donné les formules

dv (^ Y générales qui expriment -~-i -j—^t etc. , au moyen de

d 1* d^ X d'Y dy 'V'

-—9 — -, etc., -r-1 -~r'i etc., il s^ensuit que Ton connaidt dO ^ dt do ' ^

dy d}Y j da d}u . , .ni

tra ~ 5 -z—t • • • au moyen de -r- 5 -tt v • 1 ce qui était 1 obdx dx* -^ dt dt^ ^

jet de la question.

Si, au Heu d'équations finies, on avait des équations

différentielles, il faudrait toujours chercher à en dé-

, . dx d^x dy d^y , du

duire -7-9 "Tz-i etc., -7-9 -tt? etc., au moyen de -r-» dt dt^ €lt dt^ ^ dt

——9 etc., et Ton agirait ensuite comme dans le cas pré-

cèdent.

Supposons, par exemple, l'équation

,, . dy d}y .

et proposons -nous d exprimer y ♦ -ri' etc. , au moyen de

dx dPx r .• 'J •. • • ^

— , — -^ etc. La question se réduit ici a exprimer

dy d^y 1 dx d^x

— ? -7-1 etc., au moyen de -7-? -r-t etc.

dt dt^ ' ^ dt dt^

Or on aura d'abord

dy j dx"^

dP—y ^^'^'dF'

Pour avoir — ? on diffcrenliera Tcqualion donnée, et il

viendra

dx d^x dy d\r dt dt^ "^ di dV

d'où

dx d^x

dxd'x

If-

dt de

~~ ày

dt dt'

1 dx'

Tt ^

\J'- dt^

Une nouvelle difïérentialioii ferait connaître —, et ainsi

de suite.

Ce cas est celui où Ton déterminera une courbe par une équation entre l'arc et l'abscisse.

206. Cas de plusieurs variables indépendanles. — Considérons maintenant une fonction z de deux variables indépendantes x, y. Sa forme n'est pas connue, et Ton ne doit pas avoir besoin d'en faire usage; maïs on doit toujours raisonner dans l'hypothèse qu elle existe.

La question que nous nous proposons est de déterminer les dérivées partielles de tous les ordres , de z par rapport à X et j^ au moyen de celles d'une autre fonction r par rapport à deux autres variables indépendantes ç et 0, en supposant qu'il existe trois équations entrer, y^ z, r, qp, 9, savoir

{\)\ ^(•^>'^' ^'^' ?'') — ^» Fi(-^,rj 2,9, (p, a) = o,

de sorte que quatre quelconques de ces six variables, peuvent être regardées comme fonctions des deux autres qui seront entièrement arbitraires.

Cela posé , différentions successivement r par rapport à chacune des variables x et y^ la seconde étant supposée constante; et considérons /• comme dépendant de 0 et ç,

TALGUL DES DERIVEES ET DES DIFFERENTIELLES, ETC. 2.8 1

qui eux-mêmes dépendent de x cty. Nous aurons ainsi

dr cirdB drdr^ dr drdO drdo

iiv dB dx d(f dx dy dQ dy dt^ dy

Il faut maintenant éliminer de ces équations les déri-

, dB dfo dr dB rfw dr , j.^-,

vees-r-1 -r-' -7-' 3-' -7-^' -r-' et pour ceJa nous dittedx dx dx dy dy dy "^

ren lierons d'abord les équations (i) par rapport à j:;

d'où

r/F ^ ilY^d^ dF^dr dF dF dz dB dx dff dx dr dx dx dz dx '

dFydB r/F. r/y dF.dr dF, dF.dz dB dx d^ dx dr dx dx dz dx ' •

dF^dB dF,d(f dF^dr^ (iFj ffr,^ii dB 'dx d^ dx dr dx dx dz dx

„ , . dB dQ dr o * ^ dz

d ou nous tirerons — > -~ 9 -7-9 en fonction de — - : et dx dx dx dx

les reportant dans la première équation (2) nous en tire-

^ 1 . dz f, , , dr dr

ions immédiatement -— en fonction de -— » -rdx dB d(f

Différentîant de même les équations (i) par rapport hj

et faisant usage de la seconde équation {2) , on obtiendra

dz , dr dr • . . lï 1 • 11 9 f

— au moyen de -— ? — ; ce qui était 1 objet quel on s e-

tait proposé.

On conclurait facilement de là —9 — au moyen de

— ' 7~' P^^ '^ résolution de deux équations du premier

degré; mais on pourrait d'ailleurs les obtenir directement en suivant une marche inverse.

On passera aux dérivées partielles du second ordre en

,.^^, . dr dr

difierenliant — ? y par rapporta x alj : on sera ramené

282 LIVEE II.

à différentier — 5 — par rapport à x ety , et on les traitera comme on a traité /*, ce qui introduira les dérivées du second ordre de rpar rapport à 0 et (p.

r^ y iT/-^ • dB d^ dQ do

On aura en outre a ditterentier -j-j -p-> -t-9 -p-j ce

dx dx dy dy

qui introduira les dérivées partielles du second ordre de z par rapport à x et y, dont on aura ainsi les valeurs.

Il est facile de voir que cette méthode s'applique à un nombre quelconque de variables indépendantes , et s'étend aux dérivées de toutes les autres.

207. Nous examinerons, en particulier, le cas d'une fonction u de trois variables indépendantes ^c, y^ z, qui doivent être remplacées par trois autres variables indépendantes r, y , 0 , liées à x , y, -z par trois équations connues*, dans ce cas, il s'agira d'exprimer toujours les dérivées partielles de // par rapport àx,j^, ^, au moyen de ses dérivées partielles par rapport à /', tp , 0. Ce problème renferme celui de la transformation des coordonnées dans des équations aux différentielles partielles où la variable principale est une fonction de trois coordonnées.

Considérons u comme fonction de 0 , (p , /', et ces dernières comme fonction de x, j^, z\ et différentioiis a partiellement par rapport à x,y , 2, nous aurons

Or, au moyen des trois équations entre a:, r, z, 0, <p, r,

du dx''

dudO du d<f dudr ~~ 'd'éJx'^ T^di'^ Trdi

da Ty-

du dB du d(f du dr dQ dy d(f dy dr dy

da

dz ~

__ du dB du d(f du dr dB dz dr» dz dr dz

on peut déterminer les dérivées partielles

dO

de

rf?

dr

dr

dr

.te'

rfT'

dl'

Tz'

Tx'

rfr'

dz'

et, par conséquent, les équations (3) donnent les valeurs

des dérivées partielles de la fonction u par rapport à

x^y^ z^ au moyen de celles de la même fonction par

rapport à 0 , <p , /'.

La résolution de ces trois équations ferait connaître

da du du ^ du du du

-7T9 — » -y- au moyen de — » — » — -, mais on pourrait

les trouver directement par une marche inverse de la précédente.

Eu différentîant les équations (3) successivement par rapport h. x^y^ z ,on exprimerait les dérivées du second ordre par rapport aux variables indépendantes d'un des systèmes, au moyen des dérivées du second ordre par rapport aux variables de l'autre 5 et Ton continuerait ainsi indéfiniment.

Ainsi, par exemple, en différentiant — par rapport

à X, on serait ramené à former les dérivées partielles de

du du du , , lï /> .

-r-î —9 — par rapport a Jc, et c est ce que 1 on terait

du du du • lî 1 j • -

en traitant -779 -7-9 -r-' comme on avaitd abora traite m, aô d(^ dr

ce qui introduirait les dérivées du second ordre de u par

rapport à 0, op, r, tout le reste étant connu.

208. Appliquons ce procédé à une transformation qui se présente souvent dans les questions de mécanique et de physique mathématique.

Soient a:, j, z les coordonnées rectangles d'un point, et 7', 0, ^j; ses coordonnées polaires, de sorte qu'on ait

entre ces six variables les trois équations

z=: r ces ô , j -= '' sin ô sin i|/ , x = rsinQ cas i|/ ,

on trouvera, au moyen de la méthode que nous venons d'exposer,

du du . , du cos0cos>!> du sinJ^

-r = -r-sinQ cos 4' -1- -rr ■ rr — -—^ '

dx dr dB r a ip r sin G

du du , . . ^/y cos ô sin \[/ du cosJ* — = -- sin 9 sm 4/ -f- — ^ + -7-r —^5

du du ^ du sin ô az dr dB r

d^u d^u . . . . r/'wcos'ôsinJ' cos4/ r/ ' w sin \b cos i ^o;^/ ^7-2 ^ ^ dB^ r^ d^' r^sm'O

c?=*a sinô cos9 sin^l^cosip d^u /cos'4/ — sin'i|<

^Ôr/A r d-^dr \ r

d^u (cos' 4/ — sin'"^) cosô du s!n*9 sinij^.cosrî»

d^^dB /-'sinô ^r

<T?w cos9 sinipcosi|/ ^^ .^^ ^ i '^ ^ r/a ^'sin'\|> •— cos^f^

/ . ^ I \ r/a /sin'\|> •— cos^f\

2 sin9 -h -; — I H ^—. -]■>

\ sinBl d^\' r'sin'Q /

dUi d^ u ^ , r/' /« sinG cosGcoS'J^

- — - = — -- sm 9 cos9 cos^ — --— ;

dxdz dr^ * dB^ r^

d^u (ces' 9 — sin'9)cos^j; d^u sini{;cos9 d'^u sin| dBdr r d-^dr /-gin 9 dBd^ r

du (sin- G — cos' 9 ) cos -^ du sin 9 cos 9 cos>p

'^Tb 7^ d? 7 '

d^ u d^ u . ^ ^ . , r/-« sin9 cos9 sinJ^

-; — - = — -- sm 9 cosQ sin J/ i

dfdz dr"" ' dB"" ;'

d^u (cos' G — sin' G) sin ip d^u cos ^j; cos 9 <i'w cosy

dBdr r d-^dr rsinG ilBd^ /'

du (sin^ 9 — cos- 9) sin \[< du sin 9 cos 9 sin-»}/

+ Xb 7' 1? ~r '

d"^ il sin 0 cos 0 cos' 4* d^ n s'in-it cos ^

dOdr r rfi|; dr r

d'^ii sin i|; co > \|^ du cos' 0 cos' tJ^ -4- sin'>j/ 5ôl/^ r' tang0 rfr /-

r/tt ^ /sin'^p — 2sin'0 cos'>I*\ du sinrlcos^l^

l cosô I ~ '. I 4- 2 ^, 1,

f/0 \ r'sine / d^ r^ sin'0

d^a d'^u . ^ . . r/»tt cos'0sin'>p d"^ u cos' +

= sm' 0 sm' 4> H H • — ^-

dy^ dr^ ^ ^ ^0' r' • ^ ^>|;' r'sin'0

d^u sin 0 cos 0 sin" >(/ d^u sin^^cos^t/

' dQdr r d-^dr r

d ' w sin -^ cos ij' '^'* / cos' 0 sin' -^ -\- cos- ^ \

du fi.

dBd^ r'tang0 dr \ r ]

du / cos'"^ — 2sin'0 sin'i]^\ du sin^j; cos^j;

-H— cos0^ ^^^^ÛTÔ ; '^'^d^ r'sin'0 '

d'^ii d^u ^ É?'wsin'0 d^u sin0cos0 ^ ^^^^

d^ d^' ^°^' "^ ^ ~' ^ r/0r/r i^^ ^- dr ~'r

du sin 0 cos 0