APPLICATIONS ANALYTIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL

209. Détermination des valeurs particulières des fonctions qui se présentent sous les formes -> ^900X0

1^ , 00 *^,o°. — Lorsqu'une fonction est le quolientdedeux autres fonctions de jc , et qu'une valeur particulière Je x rend ces deux dernières nulles ou infinies , la valeur de

la première se présente sous la forme - ou —-) et, dans ce

cas , on peut se proposer de déterminer la valeur vers laquelle converge la fraction donnée, lorsque x tend vers cette valeur particulière 5 c'est cette valeur limite que l'on désigne souvent sous le nom de vraie valeur àe la fraction qui se présente sous la forme indéterminée -ou— •

F ( x\ Cherchons d'abord la limite de -^~—! lorsque x tend

vers une valeur Xç^ telle que l'on ait

Y{x,) = o, f(j:,)=zo.

Soit h une quantité tendant vers zéro, on aura, d'après len"45,

F(jro-4-A) F^(^o-f-e/f)

donc

Inn. — ^ == hm. ■— ^S

lorsque x tend vers a:^; et, par conséquent, si F' [x,^) et y (xo)nesont pas nuls ni infinis, la limite cherchée

Si l'on avait encore

la limite de ~— ' serait la même que celle de ~-{^ et / {^) ^ / {^)

ainsi de suite

Si donc toutes les dérivées jusqu'à Tordre n exclusi veinent deviennent nulles pour o: = Xo, la limite cherchée

F" (x) sera celle de ~—'-, et si F" (x^) et /" (x^) ne sont ni

/ \^) nulles ni infinies, on aura, pour valeur de cette limite, ;

Si l'une de ces dernières dérivées est encore nulle, la limite sera o si c'est F" (x^) qui est nulle, et la fonction croîtra sans limite si c'est/" ( *'o)-