F(a;o-hA

d ou , en représentant ~ j-. par 9 («) ,

F(x. + 9A)y(9A)' y(eA)

Or, si 77—^9 ou(f (A), a une limite finie, (f (Qk) aura la

même limite, et ... tendra vers l'unité; on aura donc

hm. -^;^ === hm. ;27-H •

Si , au contrai re , 1 expression ^tt- tend vers o ou 00 ,

elle finira, en général, par varier conslamment dans le même sens, à mesure que x tendra vers Xq] et le facteur

\rJ s^ra , dans le premier cas, plus petit, et, dans le

second, plus grand que l'unité. Donc -2;77— Mevîentnulou

infini en même temps que t^^^' ^^ P^^ conséquent, dans tous les cas , la recherche de la vraie valeur de ~-i se ramené a celle de ^, ; <«

Si donc F' (xo) et/' (Xq) ne sont ni nuls ni infinis , la limite cherchée sera

Si les dérivées de F (x) , f{x) devenaient infinies jusqu'à un certain ordre, on agirait comme dans le cas précédent. Mais si elles deviennent toutes infinies , cette méthode ne sera plus applicable; et ce qu'il y a souvent de

CALCU,!. DES DÉRIVÉES ET DtS D1FFÉRE^T1ELLES, ETC. 289

mieux à faire dans ce cas, c'est de remplacer x par .r^ + A et d eflectuei' les réductions.

Ainsi soit , par exemple , la fraction

ses deux termes deviennent nuls pour 0? = j^o^ et toutes les dérivées deviennent infinies. Mais si l'on po»ea:=.ro-l-/î, elle devient

supprimant le facteur commun A*, i! reste ^^

dont la limite est zéro quand h tend vers zéro.

211 . La valeur Xq étant arbitraire peut être supposée aussi grande que Ton voudra, et, par conséquent, les régies précédentes s'appliquent au cas où l'on a Xq = 00 . Mais la démonstration: directe ne pourrait plus se faire de la même manière dans ce cas, et il est bon de l'examiner à part.

Si l'on jK)se :r = -9 on aura

y tendant vers zéro, il n'y aura aucune difliculté, et Ton aura, par la démonstration précédente,

lim. — ^ = lim. f-y = lin., — X f •

200 LIVBE II.

On aura donc aussi

X croissant indéfiniment.